1. Mamy 5 różnych kart. Losujemy ze zwracaniem 6. jakie jest prawdopodobieństwo że wylosujemy 3 różne karty.
2. Roztargniona sekretarka na chybił trafił przyporządkowuje 10 listów do 10 kopert. Jaka jest szansa ze chociaż jeden list trafi di właściwego adresata.
Mam te zadania pod tematem wzór włączeń i wyłączeń ale zupełnie nie wiem jak się ma to do tych zadań
Wzór włączeń i wyłączeń
-
zidan3
- Użytkownik
- Posty: 694
- Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lbn
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 112 razy
Wzór włączeń i wyłączeń
2.
Niech \(\displaystyle{ A_{i_k}}\) oznacza zdarzenie, że list na \(\displaystyle{ i_k}\)-tym miejscu trafi do swojej koperty.
Oczywiście wtedy \(\displaystyle{ P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=\frac{(n-k)!}{n!}}\)
\(\displaystyle{ B}\) - co najmniej jeden trafi na swoje miejsce. Wtedy
\(\displaystyle{ P(B)=P\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right)= \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} {n \choose k} \frac{(n-k)!}{n!}}\)
druga równość wynika ze wzoru włączeń i wyłączeń. Wynik można jeszcze uprościć.
Twoje zdanie, to szczególny przypadek, gdy \(\displaystyle{ n=10}\).
Jako ćwiczenie możesz też spróbować pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ C}\) oznacza zdarzenie, ze dokładnie \(\displaystyle{ m}\) listów trafi na swoje miejsce, to wtedy
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{n-m}\frac{(-1)^k}{k!}}\)
Niech \(\displaystyle{ A_{i_k}}\) oznacza zdarzenie, że list na \(\displaystyle{ i_k}\)-tym miejscu trafi do swojej koperty.
Oczywiście wtedy \(\displaystyle{ P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=\frac{(n-k)!}{n!}}\)
\(\displaystyle{ B}\) - co najmniej jeden trafi na swoje miejsce. Wtedy
\(\displaystyle{ P(B)=P\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right)= \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} {n \choose k} \frac{(n-k)!}{n!}}\)
druga równość wynika ze wzoru włączeń i wyłączeń. Wynik można jeszcze uprościć.
Twoje zdanie, to szczególny przypadek, gdy \(\displaystyle{ n=10}\).
Jako ćwiczenie możesz też spróbować pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ C}\) oznacza zdarzenie, ze dokładnie \(\displaystyle{ m}\) listów trafi na swoje miejsce, to wtedy
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{n-m}\frac{(-1)^k}{k!}}\)