Rozkład zmiennej

[karolcia_23]

Mam prośbę czy ktoś pokaże mi krok po kroku jak rozwiązać to zadanie?

ZADANIE
Niech \(\displaystyle{ X\sim \epsilon(1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y=sgn(x^{2}-4x+3)}\) gdzie \(\displaystyle{ sgn=1_{\left\{{x\neq 0} \right\}} \frac {x}{\left| x\right|}}\)

[szw1710]

Przede wszystkim wyjaśnij, co oznacza \(\displaystyle{ \varepsilon(1)}\).

[karolcia_23]

\(\displaystyle{ \epsilon (1)}\) to rozkład wykładniczy dla którego
\(\displaystyle{ f(x) \begin{cases} e^{-x} &\text{dla } x > 0\\0 &\text{dla } x \le 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ F(x)\begin{cases} 1-e^{-x} &\text{dla } x \ge 0\\0 &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{\lambda}=1}\)
\(\displaystyle{ VarX=\frac{1}{\lambda^{2}}=1}\)

[robertm19]

Rozwiąż nierówności \(\displaystyle{ x^2-4x+2>0}\) oraz \(\displaystyle{ x^2-4x+2<0}\).

[karolcia_23]

\(\displaystyle{ x_{1}=-3}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=1}\)
i co to jest i dlaczego miałam to liczyć?

[robertm19]

Nierówność!! W wyniku mają być przedziały.

[karolcia_23]

sorki już poprawiam
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty) &\text{dla } x > 0\\x\in (-3,1) &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)
teraz dobrze?

[robertm19]

Nie wiem:) ja podaję Ci tylko metodę, sprawdzać mi się nie chce.
Teraz tak, zmienna \(\displaystyle{ Y=sgn(x^2-4x+2)}\) przyjmuje trzy wartości: -1( tam gdzie równanie kwadratowe jest ujemne ), 1 ( tam gdzie dodatnie ) i 0 ( tam gdzie równana się zero )
Metoda polega na policzeniu prawdopodobieństw w tych trzech punktach: \(\displaystyle{ P(Y=-1)=P(X^2-4X+2<0)=P(X\in(-3,1))}\)

[karolcia_23]

bo mam coś takiego i nie wiem dlaczego
\(\displaystyle{ P(Y=-1)=P(0<x<1)=F_{x}(1)-F_{x}(0)=1-e^{-1}-(1-e^{0})=1-e^{-1}}\)
\(\displaystyle{ P(Y=0)=P(X=1)=0}\)
\(\displaystyle{ P(Y=1)=P(x>1)=1-P(x \le 1)=1-F_{x}(1)=1-(1-e^{-1})=e^{-1}}\)
i mam problem z tym ze nie wiem dlaczego jest
\(\displaystyle{ P(0<x<1)=F_{x}(1)-F_{x}(0)}\)
\(\displaystyle{ P(X=1)}\)
\(\displaystyle{ P(x>1)}\)
możecie mi to wyjaśnić i dlaczego miałam liczyć te przedziały?

[robertm19]

\(\displaystyle{ P(Y=-1)=P(-3<x<1)}\) zamienia się na przedział \(\displaystyle{ (0,1)}\) bo dystrybuanta dla ujemnych wynosi 0. Dla ujemnych nie ma prawdopodobieństwa. Stąd \(\displaystyle{ P(-3<x<1)=P(0<x<1)}\).
Natomiast \(\displaystyle{ P(Y=0)=P(X=1)=0}\), bo dla rozkładów ciągłych prawdopodobieństwo w pojedynczych punktach jest zawsze 0. Wynika to z tego, że miara Lebesgue'a w punkcie jest zero.

[karolcia_23]

czyli jeżeli mam liczbę ujemną to ją zawsze zamieniam na 0 np. \(\displaystyle{ (-a,b)=(0,b)}\) a co jeśli będzie \(\displaystyle{ (-a,-b)}\)?

[yorgin]

\(\displaystyle{ Y=sgn(x^{2}-4x+3)}\) gdzie \(\displaystyle{ sgn=1_{\left\{{x\neq 0} \right\}} \frac {x}{\left| x\right|}}\)

To w końcu tu jest \(\displaystyle{ x^2-4x+3}\) czy \(\displaystyle{ x^2-4x+2}\)? Dalsze rachunki są sprzeczne z treścią zadania.

\(\displaystyle{ x_{1}=-3}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=1}\)
i co to jest i dlaczego miałam to liczyć?

Jeżeli \(\displaystyle{ x^2-4x+3}\), to źle policzone pierwiastki. Słabo się robi...
Kolejne pytanie świadczy o tym, że nie masz najmniejszego pojęcia o tym, co robisz.

sorki już poprawiam
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty) &\text{dla } x > 0\\x\in (-3,1) &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)
teraz dobrze?

Kolejne bzdury. Co robią tutaj warunki \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ x<0}\) ?

bo mam coś takiego i nie wiem dlaczego
\(\displaystyle{ P(Y=-1)=P(0<x<1)=F_{x}(1)-F_{x}(0)=1-e^{-1}-(1-e^{0})=1-e^{-1}}\)
\(\displaystyle{ P(Y=0)=P(X=1)=0}\)
\(\displaystyle{ P(Y=1)=P(x>1)=1-P(x \le 1)=1-F_{x}(1)=1-(1-e^{-1})=e^{-1}}\)
i mam problem z tym ze nie wiem dlaczego jest
\(\displaystyle{ P(0<x<1)=F_{x}(1)-F_{x}(0)}\)
\(\displaystyle{ P(X=1)}\)
\(\displaystyle{ P(x>1)}\)
możecie mi to wyjaśnić i dlaczego miałam liczyć te przedziały?

Mimo podanego rozwiązania nie wiesz co i jak się liczy? Może trzeba sobie dobrze przyswoić definicję dystrybuanty oraz rozkładu zmiennej losowej (jak również rozwiązywanie nierówności kwadratowych - szkoła średnia!), gdyż bez tego próby rozwiązywania zadań to jak strzelanie z lasera do Słońca w nadziei, że to drugie zostanie zniszczone.

czyli jeżeli mam liczbę ujemną to ją zawsze zamieniam na 0 np. \(\displaystyle{ (-a,b)=(0,b)}\) a co jeśli będzie \(\displaystyle{ (-a,-b)}\)?

Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ -a}\) jest ujemne? Skąd pomysł przyrównywania dwóch przedziałów, które a priori mogą być całkowicie różne?

Mnóstwo pytań, mnóstwo wątpliwości, mnóstwo błędów.

[robertm19]

yorgin, mówiłem, że nie chce mi się sprawdzać poprawności obliczeń
idę jakiś obiad zrobić, moja robota jest tu skończona

[karolcia_23]

już widze błąd
\(\displaystyle{ (-\infty,1)\cup(3,\infty)}\)
\(\displaystyle{ (1,3)}\)

a człowiek omylny jest, a pisze na forum, proszą o pomoc chociaż o wyjaśnienie dlaczego tak a nie inaczej, chyba po to one zostało utworzone aby pomagać a nie krytykować innych?

[yorgin]

a człowiek omylny jest, a pisze na forum, proszą o pomoc chociaż o wyjaśnienie dlaczego tak a nie inaczej, chyba po to one zostało utworzone aby pomagać a nie krytykować innych?

Owszem, ale gdy chcesz zabrać się do zadania, to wymagana jest znajomość podstaw do tego zadania. Powinnaś wiedzieć, jak wyznacza się dystrybuantę/rozkład, a nie tylko wiedzieć, że ma taki i taki wzór dla konkretnego rozkładu. Powinnaś też zwrócić uwagę na to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty) &\text{dla } x > 0\\x\in (-3,1) &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)

Jaki Ty w tym sens widzisz? Zastanów się czasem, co piszesz, gdyż oceniane jest to, co zostało napisane, a nie to, co masz na myśli. Ja czytając zadanie mogę się tego domyślić, ale powinienem mieć to jasno napisane.

Tak przy okazji, w rozwiązaniu, które zacytowałaś, jest formalny błąd, gdyż nie jest prawdą, że

\(\displaystyle{ P(0<x<1)=F_{x}(1)-F_{x}(0)}\)