Adam i Bartek strzelają do tarczy

[Marisa44]

Adam i Bartek strzelają do tarczy. Adam trafia z prawdopodobieństwem 0,6 a bartek 0,7. Gra konczy sie zwycięstwem danego strzelca w pierwszej rundzie w ktorej on trafi do tarczy a jego przeciwnik nie. Jakie jest prawdopodobieństwo że Adam wygra.


Zupełnie nie mam pojęcia jak do tego zadania podejść proszę o pomoc.

[loitzl9006]

Wiadomo że jeden trafił a drugi nie. A więc dwa przypadki:
- Adam trafił a Bartek chybił, to będzie \(\displaystyle{ P=0.6 \cdot 0.3}\),
- Bartek trafił Adam nie trafił - tutaj \(\displaystyle{ P=0.7\cdot 0.4}\).
Szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{0.6 \cdot 0.3}{0.6 \cdot 0.3+0.7\cdot 0.4}}\)

[Gouranga]

loitzl9006, tu chyba coś masz źle
bo w takich zadanaich powinien wychodzić szereg geometryczny
jak się narysuje drzewko to widzimy, że można iść drogą:
-adam trafia (0,6) potem bartek nie trafia (0,3)
albo
-adam trafia 0,6, bartek trafia 0,7, adam trafia 0,6, bartek nie trafia 0,3 itd.
ostatecznie
\(\displaystyle{ P = 0.6 \cdot 0.3 + 0.6\cdot 0.7 \cdot 0.6 cdot 0.3 + \ldots = 0.18 + 0.42\cdot 0.18 + (0.42)^2 \cdot 0.18 \ldots = \sum_{i=0}^{\infty} 0.18 \cdot (0.42)^i = \frac{0.18}{1-0.42} = \frac{9}{29}}\)

to jest zakładając że od razu zaczną trafiać, teraz rozważamy jeszcze przypadek kiedy od początku żaden nie trafia czyli
-adam wygrywa od razu \(\displaystyle{ \frac{9}{29}}\)
-adam nie trafia 0,4, bartek nie trafia 0,3, adam wygrywa \(\displaystyle{ \frac{9}{29}}\)
-2 razy żaden nie trafia 0,4 0,3 0,4 0,3 \(\displaystyle{ \frac{9}{29}}\)
itd.
stąd
\(\displaystyle{ P = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{9}{29} \cdot \left(\frac{3}{25}\right)^i = \frac{\frac{9}{29}}{1 - \frac{3}{25}} = \frac{9}{29} \cdot \frac{25}{22} = \frac{225}{638}}\)

[loitzl9006]

Zasugerowałem się tym że w pierwszej rundzie gra się rozstrzygnęła. Uznałem że pierwsza runda oznacza że oddali po jednym strzale - jeden trafił a drugi nie...