Wyznacz dystrubantę i gęstość

[karl153]

Załóżmy, że zmienna losowa \(\displaystyle{ U}\) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2},dla~x \in [-1;1] \\ 0~w~.p.p \end{cases}}\)
Wyznacz dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X=U^{2}}\)

Nawet nie wiem, jak zacząć.

[robertm19]

Dystrybuanta to prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X\le x)=P(U^2\le x)}\). Rozwiązujemy nierówność \(\displaystyle{ U^2\le x}\), są to liczby z przedziału \(\displaystyle{ [-\sqrt{x},\sqrt{x}]}\).
Czyli \(\displaystyle{ P(X\le x)=P(-\sqrt{x}\le U\le \sqrt{x})}\) dla \(\displaystyle{ xin[0,1)}\). To ostatnie wyliczamy na podstawie gęstości rozkład U. Na forum znajdziesz mnóstwo podobnych zadań.