Transformata Laplace'a sumy zmiennych losowych

[peter_math]

Witam wszystkich i proszę o pomoc.
Mam problem z interpretacją pewnego rezultatu operacji wykonanej na równaniu składającym się z ciągłych zmiennych losowych. Oto równanie wyjściowe opisujące rekurencyjną zależność pomiędzy zmiennymi:

\(\displaystyle{ Y_{i} = X_{i} + p\left(i,i-1\right) \cdot Y_{i-1}}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ Y_{i}}\) - zmienna losowa określająca czas do uzyskania kolejnego połączenia podczas gdy centrala obsługuje obecnie i-połączeń
\(\displaystyle{ X_{i}}\) - zmienna losowa określająca długość czasu w którym centrala obsługuje i-połączeń
\(\displaystyle{ p\left(i,i-1\right)}\) - prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i do i-1, co oznacza, że zanim kolejne połączenie się zaczęło, jedno z istniejących się zakończyło

Wiedząc, że gęstość prawdopodobieństwa dla \(\displaystyle{ X_{i}}\) to \(\displaystyle{ f\left(t,i\right)}\), natomiast gęstość prawdopodobieństwa dla \(\displaystyle{ Y_{i}}\) to \(\displaystyle{ g\left(t,i\right)}\), równanie po zastosowaniu transformaty Laplace'a podano jako następujące:

\(\displaystyle{ g^{*} \left(s,i\right) = f^{*} \left(s,i\right) \cdot g^{*} \left( p\left(i,i-1\right) \cdot s,i-1\right)}\)

Mam problem ze zrozumieniem dlaczego parametr "s" jest w tym równaniu pomnożony przez "\(\displaystyle{ p\left(i,i-1\right)}\)". Z czego to wynika ? Czy jest jakaś teoria, która wyjaśnia taki rezultat ?

Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

[thom]

Wynika to z dwóch własności transformaty Laplace'a. Po pierwsze, gęstością zmiennej \(\displaystyle{ Y_i}\) jest splot gęstości zmiennych \(\displaystyle{ X_i}\) i \(\displaystyle{ p(i,i-1)\cdot Y_i}\) (jak rozumiem, zakładamy ich niezależność), a transformata Laplace'a zamienia splot na iloczyn gęstości. Po drugie, dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ a>0}\) i zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y\geq 0}\) o gęstości \(\displaystyle{ f}\), gęstością zmiennej \(\displaystyle{ a Y}\) (u nas \(\displaystyle{ a=p(i,i-1)}\), \(\displaystyle{ Y=Y_{i-1}}\)) jest funkcja \(\displaystyle{ t\mapsto\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)}\). Transformata Laplace'a ma zaś następującą własność:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)\right\}(s)=\frac{1}{a}\int_0^\infty e^{-st}f\left(\frac{t}{a}\right)\, dt=\int_0^\infty e^{-asu}f(u)\, du=\mathcal{L}\{f(t)\}(as)}\)

i dlatego współczynnik \(\displaystyle{ p(i,i-1)}\) pojawia się przy argumencie transformaty \(\displaystyle{ g^\ast}\) zmiennej \(\displaystyle{ p(i,i-1)\cdot Y_{i-1}}\).

[peter_math]

Dziękuję thom
P.s. tak, te zmienne są niezależne dlatego można zastosować splot.