wielomian,wartość oczekiwana

[Nesquik]

1.Punkt \(\displaystyle{ (a,b)}\) jest losowo wybierany z kwadratu \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\).Niech c będzie liczbą pierwiastków rzeczywistych wielomianu \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{3} \cdot x ^{3} - a^2x+b}\). Obliczyc \(\displaystyle{ E(c)}\)


2.Z kwadratu \(\displaystyle{ [0,1]x[0,1]}\) wybieramy pkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (p,q)}\), jakie jest prawdopodobieństwo że równanie \(\displaystyle{ x^2+px+q=0}\) będzie miało dwa pierwiastki zespolone?

Pole kwadratu to \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=p^2-4q<0}\) lub \(\displaystyle{ \Delta=p^2-4q>0}\) wtedy będę miała pierwiastki zespolone
Chciałam rozważyć zdarzenie przeciwne ,czyli nie ma dwóch pierwiastków zespolonych,czyli albo jest jeden albo wcale czyli \(\displaystyle{ \Delta=p^2-4q > 0}\)( mam mieć dwa pierwiastki niekoniecznie różne czyli odpada tez \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
i co dalej?

[brzoskwinka1]

1. \(\displaystyle{ E(c) =0\cdot 0 +1\cdot \frac{5}{6} +2\cdot 0 +3\cdot \frac{1}{6} =\frac{4}{3} .}\)

[Adifek]

Drugie zadanie jest wg mnie niedoprecyzowane. Myślę, że chodziło o dwa pierwiastki o niezerowej części urojonej. W przeciwnym wypadku odpada tylko zbiór \(\displaystyle{ \Delta=p^2-4q = 0}\), który jest miary zero, więc nie ma co liczyć

Dla dwóch pierwiastków o niezerowej części urojonej (najzwijmy to zdarzeniem \(\displaystyle{ A}\)):

Ma być \(\displaystyle{ \Delta=p^2-4q<0 \ \Rightarrow \ q> \frac{p^{2}}{4}}\).

Stąd:

\(\displaystyle{ P( A) = \iint_A dpdq = \int_{0}^{1}\left( \int _{p^{2} \slash 4}^{1}dq \right) dp = \int_{0}^{1}\left( 1- p^{2}\slash 4\right) dp = \frac{11}{12}}\)