dystrybuanta,wariancja,niezaleznosc zm losowych-dowody

[Nesquik]

1. Dlaczego dystrybuanta ma być prawostronnie ciągła, a nie musi być lewostronnie ciągła?
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ Var(X)}\) jest nieujemnie określona.
3. Udowodnić, że jeżeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne a \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami borelowsko mierzalnymi, to zmienne losowe \(\displaystyle{ f(X)}\) i \(\displaystyle{ g(X)}\) są niezależne.

[yorgin]

1. Wynika z definicji \(\displaystyle{ F_X(t):=P((-\infty,t])}\). Dalej wystarczy wziąć rozkład skoncentrowany w punkcie - otrzymasz brak ciągłości z lewej strony.

2. Wynika z definicji \(\displaystyle{ \mbox{Var}X=E((X-EX)^2)}\). Całka z funkcji nieujemnej jest nieujemna.

[Nesquik]

no tak,oczywista oczywistość;) natomiast masz jakis pomysł na zadanie 3?

Ponadto przypomniało mi sie jeszcze jedno zagadnienie:
Wykazać że jeżeli \(\displaystyle{ EX_{n} -> u}\) oraz \(\displaystyle{ Var X_{n} -> 0}\) to \(\displaystyle{ X_{n}}\) zbiega według prawdopodobieństwa do \(\displaystyle{ X}\)

Czy trzeba tu wartość oczekiwaną i wariancje podstawić do nierówności Czebyszewa?

[Adifek]

Zad. 1. jest bez sensu - to wynika wyłącznie z przyjętej definicji. Dla przykładu ja na wykładzie miałem dystrybuantę zdefiniowana jako funkcję lewostronnie ciągłą

Zad. 3.

Bezpośrednio z definicji: \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, gdy dla każdych \(\displaystyle{ A,B\in \mathcal{B}}\) mamy:
\(\displaystyle{ P(X\in A, Y\in B) =P(X\in A)P(Y\in B)}\).

Z definicji funkcji borelowskiej mamy, że dla każdego \(\displaystyle{ A\in \mathcal{B}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f^{-1}(A) \in \mathcal{B}}\).

Zatem w szczególności mamy \(\displaystyle{ P(f(X) \in A , Y\in B) = P(X\in f^{-1}(A),Y\in B) =P(X\in f^{-1}(A))P(Y\in B) = P(f(X)\in A)P(Y\in B)}\).




Ostatnie:

\(\displaystyle{ P(|X_n - \mu| > \varepsilon ) = P(|X_n - \mathbb{E}X_n + \mathbb{E}X_n - \mu | > \varepsilon ) \le P(|X_n - \mathbb{E}X_n | + |\mathbb{E}X_n - \mu | > \varepsilon )}\)

Ale dla \(\displaystyle{ n>n_{\varepsilon}}\) mamy, że \(\displaystyle{ |\mathbb{E}X_n - \mu | < \varepsilon \slash 2}\). Stąd:

\(\displaystyle{ P(|X_n - \mathbb{E}X_n | + |\mathbb{E}X_n - \mu | > \varepsilon ) \le P(|X_n - \mathbb{E}X_n | > \varepsilon \slash 2 ) \le \frac{4 }{\varepsilon^{2}} \cdot Var X_n \to 0}\)

Ostatnie nierówność wynika z Czebyszewa.