klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zadania

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kraudia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 10 kwie 2012, o 02:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 2 razy

klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zadania

Post autor: kraudia »

Cześć. Bardzo proszę o pomoc przy poniższych zadaniach, bylabym wdzięczna za wytłumaczenie jak je należy rozwiązać.

1.Z urny zawierającej n białych i n czarnych kul pobieramy losowo parzystą liczbę kul (wszystkie odróżnialne próbki, zawierające parzystą liczbę kul, są uważane za jednakowo prawdopodobne, włącznie z próbką o liczności 0). Znaleźć prawdopodobieństwo, że wśród wyjętych kul będzie równa liczba kul czarnych i białych.

2.W sposób losowy ustawiono w ciąg m zer i n jedynek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ciąg ten rozpoczyna się od k zer, a kończy l jedynkami.

3.Na każdej z n ławek siada w sposób losowy po m osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie dane osoby usiądą obok siebie.

4.Obliczyć prawdopodobieństwo, że numer rejestracyjny pierwszego napotkanego samochodu
a) zawiera dwie jednakowe cyfry
b) zawiera dwie pary jednakowych cyfr
c) ma taką samą sumę pierwszych dwóch i ostatnich dwóch cyfr
d) składa się z czterech jednakowych cyfr
Zakładamy, że numery są czterocyfrowe o zakresie od 0000 do 9999 i nie powtarzają się.
ucwmiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 2 lut 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zadania

Post autor: ucwmiu »

1. Ponieważ liczba parzysta może być sumą dwóch liczb parzystych lub dwóch liczb nieparzystych, więc, jeżeli wylosujemy parzystą liczbę białych kul (załóżmy, że \(\displaystyle{ n}\) jest parzysta) - możemy to zrobić na \(\displaystyle{ \frac{n+2}{2}}\) sposobów, i każdej takiej liczbie możemy przypisać dowolną parzystą liczbę kul czarnych, których jest też \(\displaystyle{ \frac{n+2}{2}}\), więc w przypadku wylosowania parzystej ilości kul białych mamy:

\(\displaystyle{ (\frac{n+2}{2})^{2}}\) możliwości.

W przypadku wylosowania nieparzystej ilości kul białych postępujemy analogicznie i otrzymujemy wynik \(\displaystyle{ (\frac{n}{2})^{2}}\).

Zatem moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych jest równy:

\(\displaystyle{ |\Omega| = (\frac{n+2}{2})^{2} + (\frac{n}{2})^{2} = \frac{ 2n^{2} + 4n + 4}{4} = \frac{ n^{2} + 2n + 2}{2}}\).

Natomiast przy założeniu, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste:

\(\displaystyle{ |\Omega| = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n+1}{2} + \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{ (n+1)^{2} }{2}}\).

Różnica bierze się stąd, że w tym przypadku liczb parzystych i nieparzystych jest tyle samo w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, ... , n\right\}}\) i jest ich oczywiście \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}}\) (indeksowanie od zera).

Zdarzenie sprzyjające \(\displaystyle{ A}\) - wylosowanie parzystej ilości kul, gdzie kul czarnych jest tyle samo, co białych, więc:

\(\displaystyle{ |A| = n+1}\), ponieważ od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ n+1}\) oczek.

Zatem \(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}}\).

2. \(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie - stworzenie ciągu binarnego zaczynającego się od \(\displaystyle{ k}\) zer i kończącego się \(\displaystyle{ l}\) jedynkami złożonego z \(\displaystyle{ m}\) zer i \(\displaystyle{ n}\) jedynek, przy założeniu, że \(\displaystyle{ m\ge k \wedge n\ge l}\).

Wyznaczmy najpierw zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych:

Mamy \(\displaystyle{ n+m}\) miejsc na jedynki i zera. Wybierzmy \(\displaystyle{ m}\) miejsc na zera a jedynki wrzucimy w te miejsca, które zostały, zatem :
\(\displaystyle{ |\Omega| = {n+m\choose m}}\).

Aby wyznaczyć moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) posłużymy się podobnym modelem. Skoro ciąg ma się zaczynać na \(\displaystyle{ k}\) zer i kończyć na \(\displaystyle{ l}\) jedynek, to zostaje nam \(\displaystyle{ m-k}\) zer i \(\displaystyle{ n-l}\) jedynek. Zatem:

\(\displaystyle{ |A| = {(m-k) + (n-l)\choose (m-k)}}\).

Zatem:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}}\).

Za słaby jestem z LaTeX`a, żeby podstawić, pozdro.
kraudia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 10 kwie 2012, o 02:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 2 razy

klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zadania

Post autor: kraudia »

dziękuję bardzo za pomoc!!!
ucwmiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 2 lut 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 16 razy

klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zadania

Post autor: ucwmiu »

Proszę bardzo
ODPOWIEDZ