wartość oczekiwana zmiennej losowej

[Adifek]

Nie zero, a jeden

Tutaj musisz sprawdzić, że

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}f(x)dx + \frac{1}{8} + \frac{1}{2} =1}\).

[mateus_cncc]

no jeden jeden dzięki to licze dalej to zadanie

wartość oczekiwana wyszła \(\displaystyle{ \frac{41}{24}}\)

-- 1 wrz 2013, o 21:27 --

\(\displaystyle{ EX ^{2}= \int_{1}^{2}x ^{2} \cdot \frac{x}{4}dx +1 ^{2} \cdot \frac{1}{8}+2 ^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{49}{16}}\)

-- 1 wrz 2013, o 21:30 --

wariancja wynosci \(\displaystyle{ \frac{83}{576}}\)

-- 1 wrz 2013, o 21:44 --

\(\displaystyle{ P\left[ 1<X \le 2\right]= \int_{1}^{2} \frac{1}{8}x ^{2}dx= \frac{7}{24}}\)
dobrze?

[Joisana]

Prawdopodobieństwo ci źle wyszło. Powinno być:

\(\displaystyle{ \mathbb {P} (1 < X \le 2) = \mathbb {P} (X \le 2) - \mathbb {P} (X \le 1) = 1 - \frac{1}{8} \cdot 1^2 = \frac{7}{8}}\)

Btw. rzeczywiście masz odwrotnie zdefiniowaną tę dystrybuantę (masz z lewej strony ciągłość).

[mateus_cncc]

czemu nie mogę liczyć tak jak liczyłem ? co robiłem źle?-- 2 wrz 2013, o 20:49 --

Prawdopodobieństwo ci źle wyszło. Powinno być:

\(\displaystyle{ P(X \le 1) = \frac{1}{8} \cdot 1^2}\)

skąd to wzięłaś ??
nie powinno się równać zero ?

[Joisana]

Nie wziąłeś pod uwagę atomu jedynce. Musisz odjąć prawdopodobieństwo w jedynce od wyniku. Prawdopodobieństwo w jedynce wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\). Dodatkowym błędem jest to, że nie całkujesz przy liczeniu prawdopodobieństwa gęstości, tylko dystrybuantę. Najłatwiej to policzyć po prostu z danej w zadaniu dystrybuanty: wiesz, że z prawdopodobieństwem 1 zmienna losowa przyjmie wartość \(\displaystyle{ \le 2}\), z prawdopodobieństwem 0 wartość mniejszą od jedynki, zaś z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) wartość 1. Dlatego odejmujesz: \(\displaystyle{ 1 - 0 - \frac{1}{8}}\) i wychodzi.

W "zwykłej" definicji dystrybuanty to by się równało 0. Ale u Ciebie jest definicja taka, że \(\displaystyle{ F(t)=\mathbb{P}(X<t)}\), a nie \(\displaystyle{ F(t)=\mathbb{P}(X \le t)}\)

[mateus_cncc]

nawet jak jest otwarty w 1 to mam przyjąć, że prawdopodobieństwo jest tu równe \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) ?

no tak pomyliłem się, że policzyłem z dystrybuanty a nie z gęstości całkę. wtedy wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)


a interpretacja geometryczna jest taka, że pole pod wykresem dystrybuanty równa się prawdopodobieństwu, czy pole pod gęstością ?

[Joisana]

Na rysunku jest to różnica współrzędnej igrekowej wykresu dystrybuanty albo pole pod wykresem gęstości.

Przy czym zauważ, że tutaj to nie jest gęstość w ścisłym tego słowa znaczeniu. Gęstość nie zawsze musi istnieć i w tym wypadku akurat sobie nie istnieje - z powodu atomów.

[mateus_cncc]

czyli \(\displaystyle{ P\left( X \le 2\right) =1}\) ponieważ w 2 też jest atom i znowu trzeba dodać ten skok ?

[Joisana]

Dokładnie. Dla każdej liczby większej od dwóch masz dystrybuantę równą 1. Czyli dla każdej liczby większej od dwóch prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość od niej mniejszą wynosi 1, ale dla dwójki wynosi już tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).