losujemy liczby

[ewelkaaa]

Ze zbioru {1, 2, 3 ,..., 2n-1, 2n} losujemy dwukrotnie ze zwracaniem po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A "iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą należy do przedziału (1,2]

[max]

Oczywiście jest:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\mathbf{\Omega}}} = \overline{V}_{2n}^{2} = (2n)^{2} = 4n^{2}}\)

Teraz zliczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu \(\displaystyle{ A}\):
Pierwszą z liczb wybieramy na \(\displaystyle{ 2n}\) sposobów.
Dla dowolnej wybranej pierwszej liczby \(\displaystyle{ k}\) drugą (tak aby zachodził warunek z zadania) możemy dobrać ze zbioru:
\(\displaystyle{ \left\{\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil, ft\lceil\frac{k}{2}\right\rceil + 1, ft\lceil\frac{k}{2}\right\rceil + 2, \ldots, k - 1\right\}}\)
Jak nietrudno zauważyć zbiór ten ma \(\displaystyle{ \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor}\) elementów.
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = \sum\limits_{k = 1}^{2n} ft\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor = \sum\limits_{k = 1}^{n} k + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1}k = \frac{n(n + 1) + (n - 1)n}{2} = n^{2}\\
P(A) = \frac{n^{2}}{4n^{2}} = \frac{1}{4}}\)