Proces Poissona

[Arst]

Witam,

Niech \(\displaystyle{ \{N_t\}_{t\geqslant 0}}\) będzie prostym procesem Poissona o intensywności \(\displaystyle{ \lambda>0}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \PP(N_7-N_3=k,N_4-N_1=n)}\).

Problemem w tym zadaniu jest zachodzenie przedziałów na których następuje przyrost. Byłbym wdzięczny za jakąś wskazówkę jak można by to sensownie rozpisać.

Dzięki i pozdrawiam,
A.

[Adifek]

\(\displaystyle{ \PP(N_7-N_3=k,N_4-N_1=n) = \sum_{l=0}^{\infty} \PP(N_7-N_3=k,N_4=n+l ,N_1=l) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=l}^{n+l} \PP(N_7=m+k ,N_3=m,N_4=n+l ,N_1=l) = \\ \\= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=l}^{n+l} \PP(N_7 -N_4 =m+k-n-l ,N_4 -N_3 =n+l-m ,N_3-N_1 = m-l ,N_1=l)}\)

Tak "na pałę", możliwe, że da się prościej

[Arst]

Właśnie chciałem uniknąć rozpisywania tego w ten paskudny sposób, ale to jednak szybko doprowadza do rozwiązania. Dzięki!