Obliczenie rozkładu Y

[sop_jac]

\(\displaystyle{ f(x) = \lambda (e^\lambda x) \ dla \ x \le 0 \ i \ \lambda > 0 \ i \
0 \ dla \ x>0}\)

Obliczyć rozkład \(\displaystyle{ Y=X^3}\)

Bardzo proszę o pomoc

[robertm19]

Czy tam ma być \(\displaystyle{ \lambda e^{\lambda x}}\)?

[sop_jac]

Tak, przepraszam, nie zauważyłem błędu przy wpisywaniu.

[robertm19]

Liczymy \(\displaystyle{ P(Y\le y)=P(X^3\le y)}\).

[sop_jac]

Czy ktoś mógłby napisać mi,jak wykonać to działanie? Z góry dziękuję

[robertm19]

Tak jak napisałem, rozwiąż \(\displaystyle{ X^3\le y}\).

[zidan3]

Skoro są problemy na elementarnym poziomie, to może trzeba wyjaśnić dlaczego chcemy wyznaczyć \(\displaystyle{ X}\).
To bardzo proste: ponieważ znamy rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\).
Z nierówności \(\displaystyle{ X^3 \le y}\) dostaniesz zbiór rozwiązań, czyli \(\displaystyle{ X \in A_{y}}\) a wiemy jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia (o ile znamy rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\)), mianowicie
\(\displaystyle{ P(X \in A_y)= \int_{A_y}f(x) \mbox{d}x}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością rozkładu \(\displaystyle{ X}\).

Jeszcze jedna uwaga:
robertm19 podpowiedział, żeby liczyć \(\displaystyle{ P(Y \le y)}\) (oczywiście bardzo słusznie) czyli dystrybuantę, a to z tej okazji, że dystrybuanta jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej (względem równości prawie wszędzie).
Czyli jeśli znamy rozkład, to znamy dystrybuantę i na odwrót.
W przypadku ciągłej zmiennej losowej aby z dystrybuanty otrzymać gęstość wystarczy zróżniczkować.