Prawdopodobieństwo zdania egzaminu, trafienia do celu.

[Jasiulkr]

Witam mam problem z rozwiązaniem trzech zadań. Poniżej przedstawiam treść i mój sposób rozwiązania.

Zad. 1
W pewnej grupie studenckiej na Politechnice jest 5 razy więcej chłopaków niż dziewczyn. Prawdopodobieństwo zaliczenia egzaminu przez dziewczynę wynosi 0,6, a prawdopodobieństwo zaliczenia egzaminu przez chłopaka wynosi 0,5. Oblicz prawdopodobieństwo zaliczenia egzaminu przez losowo wybraną osobę z grupy.

No a więc postanowiłem tu obliczyć prawdopodobieństwo całkowite czyli:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{6} \cdot 0,6 + \frac{5}{6} \cdot 0,5}\)
natomiast w odpowiedzi podane jest takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{6} \cdot 0,6 + \frac{5}{6} \cdot 0,4}\)

Dlaczego przy \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ 0,4}\) a nie \(\displaystyle{ 0,5}\) ?

Drugie zadanie jest podobne do pierwszego i podobny problem.

Zad. 2
Do celu może strzelać dwóch strzelców. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przez pierwszego strzelca wynosi 0,6; a przez drugiego strzelca wynosi 0,5. O tym, który strzelec strzela decyduje rzut monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia do celu?
Według mojego liczenia:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{2} \cdot 0,6 + \frac{1}{2} \cdot 0,5}\)
A w odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{2} \cdot 0,6 + \frac{1}{2} \cdot 0,4}\)

W tym przypadku również nie rozumiem dlaczego mnożymy przez \(\displaystyle{ 0,4}\) a nie \(\displaystyle{ 0,5}\) ?


W trzecim zadaniu problem jest troszkę większy.

Zad.3
Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy co najmniej raz w czterech niezależnych i
jednakowych próbach wynosi 0,5904. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia do celu w
pojedynczej próbie.

No więc skoro prawdopodobieństwo trafienia do tarczy co najmniej raz wynosi \(\displaystyle{ 0,5904}\)
to łatwo mozna obliczyć że szansa na nie trafienie ani razu to \(\displaystyle{ 1-0,5904}\)
No to ok. I oznaczam sobie \(\displaystyle{ P(S=0)=1-0,5904=0,4096}\)
I później jadę tak:
\(\displaystyle{ P(S=0)={4\choose 1} n^{0}(1-n)^{4}}\)
\(\displaystyle{ 0,4096= 4(1-n)^{4}}\)
\(\displaystyle{ 0,1024= (1-n)^{4}}\)
\(\displaystyle{ 0,56=1-n}\)
\(\displaystyle{ n=0,44}\)

Czyli, że szansa na trafienie do celu przy pojedynczej próbie to \(\displaystyle{ 0,44}\) a w odpowiedzi mam \(\displaystyle{ 0,2}\). Nie mogę wpaść na inny sposób rozwiązania tego zadania więc prosił bym o pomoc.

[Gouranga]

Z tą tarczą to rozrysuj sobie drzewko gdzie zawsze możesz trafić lub nie trafić. Teraz prawdopodobieństwo ze wszystkich dróg łacznie które dają co najmniej jedno trafienie wynosi te \(\displaystyle{ 0.5904}\)
oznaczając prawdopodobieństwo trafienia na poziomie jednego strzału jako \(\displaystyle{ p}\) mamy

\(\displaystyle{ p^4 + p^3{4 \choose 1}(1-p) + p^2{4 \choose 2}(1-p)^2 + p{4 \choose 3}(1-p)^3 = 0.5904}\)

przynajmniej tak to rozumiem

[Barbara777]

Wg mnie w 1. i 2. sa bledy w odpowiedziach w ksiazce.
3. Blad masz taki, ze trzeba wziac \(\displaystyle{ {4 \choose 0}}\), a nie \(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) i wtedy \(\displaystyle{ (1-p)^4=1-0.5904}\) czyli \(\displaystyle{ 1-p=0.8}\) czyli \(\displaystyle{ p=0.2}\)