Zmienna losowa gęstości i wartość średnia

[karolcia_23]

Witam, mam problem z zadaniami z prawdopodobieństwa czy jest ktoś kto by mógł mi pomóc w rozwiązaniu i pokazać krok po kroku jak rozwiązać te zadania oraz jeśli to możliwe wyjaśnić wzór Bayesa oraz prawdopodobieństwo warunkowe? Z góry dziękuje za pomoc
Zad.1
\(\displaystyle{ X}\)-zmienna losowa gęstości, \(\displaystyle{ f\left( t\right) = {1}_{\left[ -1,1\right]}\left( t\right) \frac{1}{2} \lambda \frac{\cos\lambda t}{\sin\lambda}}\)
a) Wyznacz \(\displaystyle{ \lambda}\) i narysuj wykres \(\displaystyle{ f}\)
b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X}\) i narysuj jej wykres
c) Wyznacz \(\displaystyle{ P\left( X> \frac{2}{3} \vee X<- \frac{2}{3} \right)}\)
d) Oblicz \(\displaystyle{ EX}\),\(\displaystyle{ VarX}\)

Zad.2
Oblicz wartość średnią i wariancję objętości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o boku podstawy i wysokości \(\displaystyle{ X\sim U\left( 0,3\right)}\)

[robertm19]

Zacznijmy od początku.
Żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ \lambda}\) musisz scałkować gęstość po całym przedziale i przyrównać do 1. Wowczas otrzymasz równanie na \(\displaystyle{ \lambda}\).

[karolcia_23]

No własnie w tym problem, że ja nie wiem jak, czy możesz mi pokazać?-- 20 sie 2013, o 11:52 --to muszę to f scałkować i porównać do 1?

[robertm19]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} \lambda \frac{\cos\lambda t}{\sin\lambda} dt=1}\)

[karolcia_23]

tak myślałam

-- 20 sie 2013, o 12:08 --

no i teraz nawet po zastosowaniu kalkulatorów do całek wychodzi dziwna całka
\(\displaystyle{ \int f(t)dt= \frac{1}{2}\csc\lambda\sin\lambda t}\)

-- 20 sie 2013, o 12:26 --

po obliczeniach wychodzi mi że \(\displaystyle{ 1=1}\) nie wiem co źle robie

-- 21 sie 2013, o 13:00 --

czy ktoś podpowie jak to rozwiązać, bo ja już nie wiem

-- 21 sie 2013, o 17:40 --

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} \lambda \frac{\cos\lambda t}{\sin\lambda} dt = \frac{1}{2}\lambda \int_{-1}^{1} \frac{\cos\lambda t}{\sin\lamdba} dt = \frac{\lambda}{2\sin\lamdba} \int_{-1}^{1}\cos\lambda t dt= \frac{\lambda}{2\sin\lambda}\left[ \frac{\sin\lambda}{\lambda} \right]_{[-1,1]}= \frac{\lambda}{2\sin\lambda}\left( \frac{\sin\lambda}{\lambda}+ \frac{\sin\lambda}{\lambda} \right)= \frac{\lambda}{2\sin\lambda} \frac{2\sin\lambda}{\lambda}=1}\)
czyli po \(\displaystyle{ 1=\int_{-1}^{1} \frac{1}{2} \lambda \frac{\cos\lambda t}{\sin\lambda} dt}\) wychodzi ze \(\displaystyle{ 1=1}\) a miałam wyznaczyć \(\displaystyle{ \lambda}\)

-- 21 sie 2013, o 17:42 --

czy ta całka jest poprawnie policzona?-- 22 sie 2013, o 18:02 --CZY KTOŚ MÓGŁBY SPRAWDZIĆ CZY DOBRZE OBLICZYŁAM ZAD.2 ?


\(\displaystyle{ E\left( \frac{ X^{3} \sqrt{3} }{12} \right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{ s^{3} \sqrt{3} }{12}ds=\int\limits_{0}^{3} \frac{1}{3} \frac{ s^{3} \sqrt{3} }{12}ds= \frac{1}{36}\int\limits_{0}^{3} s^{3} \sqrt{3} ds = \frac{ \sqrt{3} }{36} \int\limits_{0}^{3} s^{3} ds = \frac{ \sqrt{3} }{36} \left[ \frac{s^4}{4} \right]_{\left[ 0,3\right]}= \frac{ \sqrt{3} }{36}\left( \frac{81}{4} - 0 \right)= \frac{ \sqrt{3} }{36} \frac{81}{4}= \frac{9 \sqrt{3} }{16}}\)

\(\displaystyle{ D^{2}(X)= \frac{9963}{1792}}\)