Zmienna losowa (x,y) podlega rozkładowi gęstości
\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{9} xy \ dla \ 1\ge \ x \ \ge2,\ 2\ge \ y \ \ge4
\underline 0 dla pozostałych (x,y)}\)
Należy policzyć wartości oczekiwane rozkładów brzegowych. Proszę o pomoc.
Rozkłady brzegowe
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 03:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Rozkłady brzegowe
To chyba będzie:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{-\infty}^{ \infty } \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x,y) dxdy = \int_{1}^{2}x \cdot \frac{1}{9} \cdot x \left( \int_{2}^{4}ydy\right) dx = \frac{1}{9} \int_{1}^{2}x^2 \cdot \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2}\right)dx = \frac{14}{9}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y= \int_{-\infty}^{ \infty } \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(x,y) dxdy = \int_{1}^{2} \frac{1}{9}x \left( \int_{2}^{4}y^2 dy\right) dx = \frac{1}{9} \int_{1}^{2} x \cdot \left( \frac{4^3-2^3}{3}\right) dx = \frac{56}{27} \int_{1}^{2} xdx = \frac{28}{9}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{-\infty}^{ \infty } \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x,y) dxdy = \int_{1}^{2}x \cdot \frac{1}{9} \cdot x \left( \int_{2}^{4}ydy\right) dx = \frac{1}{9} \int_{1}^{2}x^2 \cdot \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2}\right)dx = \frac{14}{9}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y= \int_{-\infty}^{ \infty } \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(x,y) dxdy = \int_{1}^{2} \frac{1}{9}x \left( \int_{2}^{4}y^2 dy\right) dx = \frac{1}{9} \int_{1}^{2} x \cdot \left( \frac{4^3-2^3}{3}\right) dx = \frac{56}{27} \int_{1}^{2} xdx = \frac{28}{9}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Rozkłady brzegowe
Co masz na myśli?bartek118 pisze:Oj chyba nie do końca
Oczwywiście dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ \phi(X,Y)}\) zachodzi \(\displaystyle{ E\phi(X,Y)=\int \phi(x,y)f(x,y)dxdy}\). W tym wypadku \(\displaystyle{ \phi(X,Y)=X}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Rozkłady brzegowe
Dobra, ok, masz rację Pomyliło mi się jak tak patrzyłem na te całkirobertm19 pisze:Co masz na myśli?bartek118 pisze:Oj chyba nie do końca
Oczwywiście dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ \phi(X,Y)}\) zachodzi \(\displaystyle{ E\phi(X,Y)=\int \phi(x,y)f(x,y)dxdy}\). W tym wypadku \(\displaystyle{ \phi(X,Y)=X}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 03:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Rozkłady brzegowe
Może chodziło o to, że zgubiłam w zapisie f-cję charakterystyczną tego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ (x,y): 1 \le x \le 2, 2 \le y \le 4\right\}}\)