Sprawiedliwa gra - który sposób dobry?

[Alighieri]

Witam, mam takie zadanie. Zrobiłem je ładnie pięknie ( mam taką nadzieję ) tj policzyłem rozkład, ale przy obliczaniu stawki wpłaconej za udział w grze otrzymałem dziwny wynik.

Zadanie 4.
Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 4 karty. Zmienną losową X określamy jako liczbę wylosowanych pików.
a) Wyznacz jej rozkład oraz dystrybuantę
b) Za każdego wylosowanego pika otrzymujemy 5 zł. Ile powinna wynosić stawka wpłacona w grze, aby gra była sprawiedliwa?

Rozkład wyszedł mi taki.
\(\displaystyle{ P(X=0)= 0,3038\\
P(X=1)= 0,4388\\
P(X=2)= 0,2135\\
P(X=3)= 0,0413\\
P(X=4)= 0,0026\\}\)
Gdzieś tam zaokrągliłem o jedną dziesięciotysięczną, bo wynik sumował się do 0,9999.

No i przechodząc do obliczania stawki zrobiłem tak, że przyjąłem że zmienna Y to wygrana w grze. Czyli \(\displaystyle{ Y}\) może przyjmować wartości: \(\displaystyle{ Y \in \left\{ p, 5, 10, 15, 20\right\}}\)
gdzie za \(\displaystyle{ p/}\) oznaczyłem niewiadomą tj. stawkę wpłaconą w grze.
czyli \(\displaystyle{ 0=0,3038p+5 \cdot 0,4388+10 \cdot 0,2135+15 \cdot 0,0413+20 \cdot 0,0026}\). Obliczając tym sposobem wyszło mi, że \(\displaystyle{ p=16,46}\), co jest przecież nielogiczne, bo grający miałby 0,0026 szansy na osiągnięcie jakiegokolwiek zysku z tej gry.


Policzyłem teraz drugim sposobem:

\(\displaystyle{ 0=0,3038p+(5-p) \cdot 0,4388+(10-p) \cdot 0,2135+(15-p) \cdot 0,0413+(20-p) \cdot 0,0026}\).

I z tego równania wychodzi, że \(\displaystyle{ p=12,03}\). Jest to już bardziej logiczne, ale zastanawiam się dlaczego pierwszy sposób jest - w teorii - zły?

[robertm19]

Drugi sposób poprawny, tylko jeden mankament. Przy liczbie 0 pików tracimy p, a więc
\(\displaystyle{ 0=\mathbf{-}0,3038p+(5-p) \cdot 0,4388+(10-p) \cdot 0,2135+(15-p) \cdot 0,0413+(20-p) \cdot 0,0026}\).
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ p=E5\cdot X}\)( bo średnio musimy wygrać tyle ile wpłaciliśmy)

PS. Rozkład X jest źle policzony.

[Alighieri]

Będę bronić swojego rozkładu. liczyłem w ten sposób

\(\displaystyle{ P(X=2)= \frac{ {13 \choose 2} \cdot {39 \choose 2} }{ {52 \choose 4} }}\)

W talii jest 13 pików, z których mamy wziąć 2. A z pozostałych kart też mamy wziąć 2. No a mianownik to liczba wszystkich kombinacji....czy dobrze myślę?

[robertm19]

Aha przepraszam, nie wiem czemu ale myślałem o 4 asach