Losowanie kul bez zwracania - który rozkład jest poprawny?

[Alighieri]

Witam.
Robię zadania z rozkładu zmiennej losowej skokowej i mam małe problemy z zadaniami z kulami.

Zadanie 3.
W urnie znajdują się 4 kule zielone, 6 czarnych i 6 białych. Bez zwracania losujemy 4. Zmienną losową X określamy jako liczbę wylosowanych kul białych.
a) wyznacz rozkład zmiennej losowej X


Zasadniczo to zacząłem robić to zadanie bazując na rozkładzie kombinatorycznym (hipergeometrycznym) tj.

\(\displaystyle{ P(X=K) = \frac{{R\choose k} \cdot {N - R\choose n - k}} {{N\choose n}}}\)

Gdzie R - liczba elementów posiadających interesującą cechę (tj. kule białe = 6)
N - liczba wszystkich elementów (16)
n - liczebność próby (4, bo losujemy 4 kule)

Teoretycznie wydaje mi się to być odpowiedni rozkład, bo losujemy bez zwracania, prawdopodobieństwa sukcesu i porażki nie są stałe.

Tyle że jak zacząłem to robić, to z rozpędu się pomyliłem i przyjąłem, że R = 4 (większość zadań w moich testach jest tak skonstruowana, że liczebność próby jest równa liczbie elementów posiadających interesującą cechę, stąd rozpęd)

I po obliczeniach rozkład wyszedł mi taki
\(\displaystyle{ P(X=0) = 0,27198 \\
P(X=1) = 0,48352\\
P(X=2) = 0,21758\\
P(X=3) = 0,02637\\
P(X=4) = 0,00055}\)


Potem się poprawiłem i zastosowałem już R=6. Rozkład wyszedł mi taki:

\(\displaystyle{ P(X=0) = 0,11538\\
P(X=1) = 0,3956\\
P(X=2) = 0,37088\\
P(X=3) = 0,10989\\
P(X=4) = 0,00082}\)

Czyli zupełnie inny. Na pierwszy rzut oka to ten drugi jest poprawny, bo liczba kul białych we wzorze jest podana jako 6. Ale z drugiej strony ten pierwszy rozkład sumuje się idealnie do jedynki, a drugi sumuje się do \(\displaystyle{ 0,99257}\). Teoretycznie mogę przybliżać, a nawet powinienem, ale mam jakoś wątpliwości...czy ktoś mógłby je rozwiać?

[robertm19]

Ten drugi jest poprawny i też się sumuje do jedynki tylko uciąłeś dwie ostatnie liczby w każdym prawdopodobieństiwe.

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{\binom{10}{3}\binom{6}{1}}{\binom{16}{4}}=\frac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13} \approx 0{,}13}\)
Choć nie jestem pewien rachunków. Sprawdź i poszukaj co źle robiłeś.
\(\displaystyle{ P(X=2)}\) też wyszło inne.

[robertm19]

pyzol,
policz jeszcze raz

[pyzol]

Ta, ale żeby w obu się rypnąć... Tak to jest jak się dwie rzeczy na raz robi.