Problem z wartością oczekiwania oraz z rozkładem Poissona

[Alighieri]

Cześć. Uczę się do egzaminu poprawkowego ze statystyki i mam problemy z dwoma rodzajami zadań.

Pierwszy dotyczy wartości oczekiwanej. Mam na przykład:

Zadanie 1
Wyznacz: \(\displaystyle{ E\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{8}X + \frac{2}{3}X^{2} \right)}\), \(\displaystyle{ V\left( 4 - \sqrt{2}X \right)}\), \(\displaystyle{ V\left7 \cdot X^{2} + X - 3 \right}\), jeżeli
\(\displaystyle{ E(X) < 0}\), \(\displaystyle{ \sigma = \frac{ \sqrt{7} }{7}}\), \(\displaystyle{ E(X^{2}) = \frac{8}{7}}\), \(\displaystyle{ E(X^{4}) = \frac{65}{49}}\).

Przeważnie w takich zadaniach mam podane \(\displaystyle{ E(X)}\), więc do pewnego momentu jestem w stanie policzyć to o co mnie pytają. Ale jak pojawiają się te kwadraty, to trochę tracę głowę.
Bo przecież chyba \(\displaystyle{ E(X) \neq \sqrt{E(X^{2})}}\) ?

Ani \(\displaystyle{ E(X^{2}) \neq \sqrt{E(X^{4})}}\) ?

No i też \(\displaystyle{ E(X^{2}) \neq E(X) \cdot E(X)}\), wtedy to jest po prostu \(\displaystyle{ ( E(X) )^{2}}\)


Zadanie 2.
Zastawa w restauracjach okazuje się mieć krótki żywot. Student WZ, odbywający praktykę, ustalił że z każdym użyciem filiżanki wiąże się stałe prawdopodobieństwo p=0,27 jej uszkodzenia (uszkodzona filiżanka zostaje wyrzucona). Zakładamy, że poszczególne przypadki użycia filiżanek są od siebie niezależne. Niech X oznacza liczbę przypadków użycia danej filiżanki. Wyznacz jej wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe, dominantę oraz \(\displaystyle{ P(X)>2, P(X=10)}\)

Tutaj mam inny problem nie znam liczby filiżanek. Jak mogę wyznaczyć wszystkie wartości, skoro nie wiem ile w ogóle jest tych filiżanek - mam założyć, według tego co mnie pytają w zadaniu, że 10?

[TPB]

\(\displaystyle{ \sigma}\) to odchylenie standardowe, a jak znasz wartość odchylenia, to znasz także wariancję.
Żeby wyliczyć \(\displaystyle{ EX}\) wystarczy skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ Var(X) = EX^{2} - (EX)^{2}}\).
Wszystkie dane potrzebne do rozwiązania są, więc wystarczy rozwiązać to równanie.

Nadmienię jeszcze, że to równanie ma chyba (nie sprawdzałem, ale na 99% tak) dwa rozwiązania, jedno dodatnie i jedno ujemne. Warunek \(\displaystyle{ EX<0}\) mówi nam, które mamy wybrać.

[Alighieri]

A po co w takim razie to \(\displaystyle{ E(X^{4})}\) ?

[TPB]

Na przykład do policzenia wariancji zmiennej \(\displaystyle{ X^{2}}\).

[Alighieri]

A jak ją policzyć?
\(\displaystyle{ V(X^{2}) = E(X^{4}) - (E(X))^{4}}\) ?

[TPB]

Nie w ten sposób. Wzór na wariancję jest inny (po zaadoptowaniu go do naszej sytuacji mamy taką równość):
\(\displaystyle{ V(X^{2}) = EX^{4} - (EX^{2})^{2}}\)

[Alighieri]

Bardzo dziękuję! A z drugim też dałoby radę jakoś pomóc, coś wskazać?

[TPB]

W tym drugim trzeba się uważnie wczytać w treść, na początku też nie załapałem i doszukiwałem się tutaj przyjęcia, że liczba filiżanek jest równa jakiemuś \(\displaystyle{ n}\). Ale nie o to chodzi. Tutaj mam coś zupełnie innego. Filiżanka jest jedna. Szansa na jej uszkodzenie przy każdym użyciu wynosi \(\displaystyle{ p=0,27}\). Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) informuje nas o tym ile razy użyliśmy tej filiżanki; oczywiście jak się nam ona posypie, to dalej już jej nie używam - zgodnie z treścią zadania
Zastanów się jaki rozkład ma ta zmienna, a obliczenie prawdopodobieństw o których mowa w zadaniu nie będzie większym wyzwaniem.

[Alighieri]

Aaaa no tak, przecież tutaj będziemy liczyć liczbę użyć filiżanki do pierwszego "sukcesu", czyli jej uszkodzenia. Czyli dla \(\displaystyle{ P(X>2)}\) trzeba będzie policzyć po prostu przeciwieństwo zdarzenia przeciwnego tj \(\displaystyle{ 1 - P(X \le 2)}\), no a dla 10 to po prostu 9 porażek i jeden sukces.

Bardzo dziękuję!

edit:

raju, teraz tak patrzę i myślę tylko "przecież to widać, wystarczyło po prostu zastanowić się 5 sekund więcej"..dzięki!

[TPB]

Tak - rozkład geometryczny.

Powodzenia w dalszej nauce, w razie czego zaglądaj tutaj i pytaj.

[Alighieri]

Mam wciąż mały problem z tym pierwszym...

\(\displaystyle{ V(X) = \sigma^{2} = (\frac{ \sqrt{7} }{7} ) ^{2} = \frac{1}{7}}\)

\(\displaystyle{ V(X) = E(X^{2}) - (E(X) )^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{7} = \frac{8}{7} - (E(X) )^{2}}\)
No i z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ (E(X) )^{2}}\) będzie równe 1, czyli samo \(\displaystyle{ E(X)}\) też będzie równe 1.
A w założeniach zadaniach jest napisane, że \(\displaystyle{ E(X)<0}\) :/

[TPB]

\(\displaystyle{ (EX)^{2} = 1 \Leftrightarrow (EX)^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow (EX - 1)(EX + 1) = 0}\)

Masz do rozwiązania równanie postaci \(\displaystyle{ x^{2} = 1}\). Możesz je rozwiązać tak jak ja powyżej, albo jako równanie kwadratowe przy pomocy delty albo tak:
\(\displaystyle{ x^{2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{ x^{2}} = \sqrt{1} \Leftrightarrow \left| x\right| = 1 \Leftrightarrow (x=1 \vee x= - 1)}\).

Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} = \left| x\right|}\), a nie samo \(\displaystyle{ x}\)!