Niezależność podczas rzucanie monetą

[MakCis]

W rzucie fałszywą monetą orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Wykonano \(\displaystyle{ n}\) niezależnych rzutów tą monetą. Niech \(\displaystyle{ E}\) oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś \(\displaystyle{ F_k}\) zdarzenie w sumie wypadło \(\displaystyle{ k}\) orłów. Opisz wszystkie pary \(\displaystyle{ (n, k)}\) dla których zdarzenia \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F_k}\) są niezależne.

Według mnie:

\(\displaystyle{ P(E) = \frac{1}{3} \\ P(F_k) = {n \choose k} \left( \frac{1}{3}\right) ^k \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-k} \\ P(E \cap F_k) = \frac{1}{3} {n-1 \choose k-1} \left( \frac{1}{3}\right) ^{k-1} \left( \frac{2}{3}\right) ^{n-k}}\)

Z niezależności:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}\right) {n \choose k} \left( \frac{1}{3}\right) ^k \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-k} = \left( \frac{1}{3}\right) {n-1 \choose k-1} \left( \frac{1}{3}\right) ^{k-1} \left( \frac{2}{3}\right) ^{n-k}}\)

Skąd po prostych rachunkach:

\(\displaystyle{ k = \frac{n}{3}}\)

Czy ktoś mógłby rzucić na to okiem i stwierdzić czy jest poprawnie?

[Adifek]

Zdaje się, że jest ok Choć chyba poprawniej byłoby napisać, że \(\displaystyle{ (n,k)\in \left\{ (3x,x): x\in \mathbb{N} \right\}}\).