Odcinek i trzy punkty

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
tjakub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 gru 2011, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

Odcinek i trzy punkty

Post autor: tjakub »

Na odcinku [0,1] umieszczono 3 punkty \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} , x_{3}}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ x_{1} \le x_{2} \le x_{3}}\)

Spotkałem się z rozwiązaniem tego zadania geometrycznie (objętosć prostopadłoscianu), obliczenia wyglądały następująco:

\(\displaystyle{ P = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\)

Chciałbym zapytać, czy faktycznie jest to dobre rozwiązanie i skąd wzięły się te liczby.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Odcinek i trzy punkty

Post autor: yorgin »

Nie sądzę, by to był prostopadłościan. Prędzej ostrosłup.

Oznaczam liczby przez \(\displaystyle{ x,y,z}\). Wtedy do policzenia z prawdopodobieństwa geometrycznego jest objętość bryły

\(\displaystyle{ A=\{(x,y,z)\in\RR^3: 0\leq z\leq y\leq x\leq 1\}}\)

zawartej w sześcianie \(\displaystyle{ [0,1]^3}\), co łatwo można przełożyć na

\(\displaystyle{ \int_A dV=\int_0^1 \int_0^x\int_0^y dxdydz}\)
Joisana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 mar 2012, o 03:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 1 raz

Odcinek i trzy punkty

Post autor: Joisana »

W tym pierwszym rozwiązaniu to nawet nie jest prawdopodobieństwo geometryczne, tylko proste spostrzeżenie, że gdy na odcinku już są obrane trzy punkty, to mogą być spermutowane na 6 sposobów. Czyli koncentrujemy uwagę na punkcie \(\displaystyle{ x1}\). Punkt \(\displaystyle{ x2}\) z \(\displaystyle{ 1/2}\) szansy będzie na prawo od niego (bo może być albo na lewo, albo na prawo). Gdy \(\displaystyle{ x2}\) jest na prawo od \(\displaystyle{ x1}\), to \(\displaystyle{ x3}\) może być albo na lewo od obu, albo pomiędzy nimi, albo na prawo. \(\displaystyle{ 1/3}\) bierze się stąd, że mamy trzy możliwości. Gdyby któreś punkty się pokryły, to nic to nie popsuje, bo mamy nieostrą nierówność.
ODPOWIEDZ