Test na sprawdzenie pierwszości liczby

[MakCis]

Dysponujemy probabilistycznym testem pierwszości liczb dającym następujące rezultaty:
• test zastosowany do liczby pierwszej zawsze daje odpowiedź: NIE WIADOMO,
• test zastosowany do liczby złożonej daje odpowiedź: NIE WIADOMO z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) , a odpowiedź: LICZBA JEST ZŁOŻONA z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ,
• wielokrotne stosowanie testu daje niezależne wyniki.

Wylosowano liczbę ze zbioru, w którym \(\displaystyle{ 99,9 \%}\) to liczby złożone, a \(\displaystyle{ 0,1 \%}\) to liczby pierwsze. Następnie poddano wylosowaną liczbę \(\displaystyle{ n}\)-krotnemu testowi i otrzymano za każdym razem odpowiedź: NIE WIADOMO.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest liczbą pierwszą?

Zrobiłem to zadanie rysując drzewko, z którego wynika, że są tylko dwie takie ścieżki. Dzięki temu poszukiwane prawdopodobieństwo warunkowe jest równe

\(\displaystyle{ p_n = \frac{0,001}{0,001 + 0,999 \cdot \frac{1}{2^n} } = \frac{2^n}{2^n + 999}}\)

Czy to jest poprawnie policzone?

[Gouranga]

samo przekształcenie jest dobrze policzone więc o ile jesteś pewien tego drzewka które narysowałeś to jest ok