Pewna drużyna piłkarska strzela \(\displaystyle{ n}\) goli w meczu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p^n(1 - p)}\). Niezależnie od tego, drużyna przeciwna strzela \(\displaystyle{ m}\) goli z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q^m(1 - q)}\) (gdzie \(\displaystyle{ 0 < p < 1}\), \(\displaystyle{ 0 < q < 1}\)).
Jakie jest prawdopodobieństwo bramkowego remisu? Zakładając dodatkowo, że \(\displaystyle{ p = q}\), dla jakiego \(\displaystyle{ p}\) prawdopodobieństwo bramkowego remisu jest największe?
(Uwaga: Bramkowy remis to remis, w którym padły bramki.)
Według mnie prawdopodobieństwo bramkowego remisu wynosi:
\(\displaystyle{ p(1-p)q(1-q) + p^2(1-p)q^2(1-q) + p^3(1-p)q^3(1-q) + ... = \frac{pq(1-p)(1-q)}{1-pq}}\)
Zakładając \(\displaystyle{ p=q}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{p^2 - p^3}{(p+1)^2}}\) co przyjmuje maksimum dla \(\displaystyle{ p = \frac{ \sqrt{5} -1 }{2}}\).
Prosiłbym o sprawdzenie.
Prawdopodobieństwo remisu w meczu
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Prawdopodobieństwo remisu w meczu
Niezależność pozwala nam na pomnożenie tych prawdopodobieństw. Nie liczyłem dalej, ale jak się nie walnąłeś w obliczeniach to jest ok.
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Syberia
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 32 razy
Prawdopodobieństwo remisu w meczu
Nie uwzględniłeś sytuacji, gdy nie padła w meczu żadna bramka, tak więc to p-stwo wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{(1-p)(1-q)}{1-pq}}\) i dla \(\displaystyle{ p=q}\) p-stwo remisu jest największe dla \(\displaystyle{ p=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{(1-p)(1-q)}{1-pq}}\) i dla \(\displaystyle{ p=q}\) p-stwo remisu jest największe dla \(\displaystyle{ p=0}\)