Macierz kowariancji wektora średnich empirycznych.

[_Mithrandir]

Zakładamy, że wektor \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(m,R)}\).
Czy wtedy \(\displaystyle{ (\bar{X},\bar{Y})}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N\left(m, \frac{1}{n}R\right)}\)? Bo nie pasuje mi kowariancja:
\(\displaystyle{ cov(\bar{X},\bar{Y}) = \frac{1}{n^2} \sum_i \sum_j E(X_i Y_j) - E(\bar{X})E(\bar{Y})=E(XY) - EXEY = cov(X,Y)}\)
Czyli przez \(\displaystyle{ n}\) dzielimy tylko przekątną macierzy kowariancji. Zgadza się, czy coś robię źle?

[robertm19]

Przerobiłem w życiu dużo zadań z prawdopodobieństwa ale nigdy nie wyznaczałem rozkładu sumy wektorów losowych. Mimo to coś wymyśliłem
Tw. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N_{n}(m,\Sigma)}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in R^{n}}\) zmienna \(\displaystyle{ a^T X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(a^T m,a^{T}\Sigma a)}\).

Wystarczy więc pokazać że zmienna \(\displaystyle{ a_{1}\bar{X}+a_{2}\bar{Y}}\), dla dowolnego \(\displaystyle{ a=(a_{1},a_{2})}\) ma odpowiedni rozkład normalny.
\(\displaystyle{ a_{1}\bar{X}+a_{2}\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a_{1}X_{i}+a_{2}Y_{i})}\)
Niech \(\displaystyle{ Z_{i}=a_{1}X_{i}+a_{2}Y_{i}}\)
\(\displaystyle{ \frac{Z_{i}}{n}}\) są niezależne i mają rozkład \(\displaystyle{ N(\frac{1}{n}(a_{1}m_{1}+a_{2}m_{2}), \frac{1}{n^2}(a_{1}^2\sigma_{1}^2+2a_{1}a_{2}Cov(X_{i},Y_{i})+a_{2}^2\sigma_{2}^2))}\). (z tw dla \(\displaystyle{ (X_{i},Y_{i})}\))
Suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym też ma rozklad normalny, czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}Z_{i}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(a^Tm,\frac{1}{n}a^T\Sigma a )}\).
Pokazałem , że dla dowolnego \(\displaystyle{ a=(a_{1},a_{2})^T}\) zmienna \(\displaystyle{ a^T(\bar{X},\bar{Y)}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(a^Tm,\frac{1}{n} a^T\Sigma a )}\).
Z twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ \bar{X},\bar{Y}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N_{2}(m,\frac{1}{n}\Sigma)}\).

Oczywiście wszystko przy założeniu że \(\displaystyle{ (X_{i},Y_{i})}\)dla \(\displaystyle{ i=1,...,n}\) są niezależne i mają ten sam rozkład.

[_Mithrandir]

Gdzie w takim razie zrobiłem błąd pisząc, że \(\displaystyle{ cov(\bar{X},\bar{Y}) = \dots = cov(X,Y)}\)?

[robertm19]

Tylko dla \(\displaystyle{ (X_{i},Y_{i})}\) kowariancja jest nie zerowa. Dla \(\displaystyle{ j \neq i}\) \(\displaystyle{ Cov(X_{i},Y_{j})=0}\). Przynajmniej tak powinno być, bo nie napisałeś, że \(\displaystyle{ (X_{1},Y_{1}),...,(X_{n},Y_{n})}\) to próba prosta.

[_Mithrandir]

Dzięki, już jasne