Prawdopodobieństwo prawdziwości zdania logicznego.

[MakCis]

W zdaniu
\(\displaystyle{ (K x \in \mathbb{R}^3)(K y \in \mathbb{R}^3)(K z \in \mathbb{R}^3)(x,y,z \quad sa \quad liniowo \quad niezalezne)}\)
litery \(\displaystyle{ K}\) zamieniono na kwantyfikatory, niezależnie każdą z nich zastępując kwantyfikatorem ogólnym z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\), zaś egzystencjalnym z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1 - p}\). Niech \(\displaystyle{ P(p)}\) oznacza prawdopodobieństwo, że otrzymane zdanie jest prawdziwe. Policzyć \(\displaystyle{ P( \frac{1}{3})}\) oraz \(\displaystyle{ P( \frac{2}{3} )}\).

Nie mam pojęcia co robię źle. Powyższe zdanie logiczne jest prawdziwe w następujących przypadkach:

\(\displaystyle{ \exists \exists \exists \\ \forall \exists \exists \\ \exists \forall \exists \\ \exists \exists \forall}\)

Mam zatem:

\(\displaystyle{ P( \frac{1}{3} ) = ( \frac{2}{3})^3 + 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot ( \frac{2}{3} )^2 = \frac{20}{27}}\)
\(\displaystyle{ P( \frac{2}{3} ) = ( \frac{1}{3})^3 + 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot ( \frac{1}{3} )^2 = \frac{7}{27}}\)

Coś tutaj robię źle, proszę o pomoc.

[yorgin]

Nie mam pojęcia co robię źle. Powyższe zdanie logiczne jest prawdziwe w następujących przypadkach:

\(\displaystyle{ \exists \exists \exists \\ \forall \exists \exists \\ \exists \forall \exists \\ \exists \exists \forall}\)

Jesteś pewien, że w tych warunkach zdanie jest prawdziwe?

[robertm19]

Dwa ostatnie zdania są raczej nieprawdziwe.
Np. 3 zdanie
Istnieje \(\displaystyle{ x}\),gdzie dla każdego \(\displaystyle{ y}\), istnieje \(\displaystyle{ z}\) takie, że
\(\displaystyle{ x,y,z}\) niezależne. Ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest dowolny, więc wybieram \(\displaystyle{ y=x}\) i zdanie jest nieprawdziwe.

[MakCis]

To dlaczego drugie zdanie jest prawdziwe? Skoro \(\displaystyle{ x}\) jest dowolny to mogę wybrać \(\displaystyle{ x = y}\) i zdanie jest nieprawdziwe?

[yorgin]

To dlaczego drugie zdanie jest prawdziwe? Skoro \(\displaystyle{ x}\) jest dowolny to mogę wybrać \(\displaystyle{ x = y}\) i zdanie jest nieprawdziwe?

Najpierw wybierasz \(\displaystyle{ x}\), potem \(\displaystyle{ y}\), nie w odwrotnej kolejności.

[MakCis]

Czyli to zdanie jest prawdziwe tylko w dwóch pierwszych przypadkach?

[yorgin]

Tak.