Wartośc oczekiwana, wariancja

[porucznik]

Rozmieszczamy r kul w n urnach w jaki sposób, że wszystkie \(\displaystyle{ n^{r}}\) rozmieszczeń jest jednakowo prawdopodobnych. Niech Y oznacza liczbę pustych urn. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję Y.

Miałem taki pomysł, żeby najpierw wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ Y_{i}}\) która przyjmuje wart 0 gdy i-ta urna jest niepusta oraz 1 gdy jest pusta, a następnie rozważyć n-krotny splot \(\displaystyle{ Y = \sum_{i=1}^{n} Y_{i}}\), wtedy wkroczyć z funkcją charakterystyczną:

\(\displaystyle{ \phi_{Y}(t)= (\phi_{Y_{i}}(t))^n}\), i korzystając ze wzoru Newtona na \(\displaystyle{ (x+y)^{n}}\), odczytać prawdopodobieńśtwo. Ostatecznie otrzymałem coś takiego:

\(\displaystyle{ P(Y=n-j) = {n\choose j}p^{n-j}q^{j}}\), gdzie \(\displaystyle{ p = \left( \frac{n-1}{n} \right)^r, q = 1-p}\)

Ale teraz jakby się temu przyglądnąć, to dla \(\displaystyle{ j=0}\) mamy że prawdopodobieństwo, że spośró n urn wszystkie są puste jest niezerowe, a przecież skoro rozmieszczamy kule w urnach to nie powinno być możliwości że wszystkie urny są puste. Dlatego zacząłem się zastanawiać czy da się to jakoś poprawić, czy cały pomysł ze splotem i f. chakakt. jest do niczego?

Ten wzór z iloczynem f. charakt. działa tylko dla zmiennych niezależnych, czy w naszym przypadku na pewno tak jest i można to założyć?

Pozdrawiam.

[robertm19]

A tych kul jest więcej czy mniej od n? To chyba będzie miało znaczenie.

[porucznik]

Jest to pełna treść zadania więc pewnie trzeba rozważyć wszystkie przypadki. Póki co nie widzę, żeby to wpływało na moje rozwiązanie, no ale załóżmy najpierw że kul jest więcej niz urn. Masz jakiś pomysł jak poprawić moje rozumowanie ?

@edit: zapomniałem dodać, że p to prawdopodobieństwo że i-ta urna jest pusta

[robertm19]

A jak liczysz rozkład \(\displaystyle{ Y_{i}}\)? Nic mi do głowy teraz nie przychodzi.

[tometomek91]

A to nie będzie przypadkiem tak łatwo jak tutaj?

Niech \(\displaystyle{ Y_i}\) zdefiniowane jak wyżej. Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ i}\) jest \(\displaystyle{ P(Y_i=0)=1-P(Y_i=1)=1-\frac{(n-1)^r}{n^r}}\), czyli \(\displaystyle{ EY_i=\frac{(n-1)^r}{n^r}}\), więc \(\displaystyle{ EY=\sum_{i=1}^n EY_i=n \cdot \frac{(n-1)^r}{n^r}}\).

[robertm19]

A to nie będzie przypadkiem tak łatwo jak tutaj?

Niech \(\displaystyle{ Y_i}\) zdefiniowane jak wyżej. Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ i}\) jest \(\displaystyle{ P(Y_i=0)=1-P(Y_i=1)=1-\frac{(n-1)^r}{n^r}}\), czyli \(\displaystyle{ EY_i=\frac{(n-1)^r}{n^r}}\), więc \(\displaystyle{ EY=\sum_{i=1}^n EY_i=n \cdot \frac{(n-1)^r}{n^r}}\).

A co jeżeli kul jest dwie a urn 5? To średnia wychodzi \(\displaystyle{ \frac{16}{25}}\)? Troche nie gra bo przynjamniej 3 puste zostają zawsze.

[tometomek91]

Zakładamy najpierw, że kul jest więcej niż urn. (pare postów wyżej)

[porucznik]

Zgadza się, dokładnie tak by było. Tylko teraz licząc \(\displaystyle{ EY^{2}}\) będzie już trochę gorzej i trzeba będzie chyba trochę pokombinować. Dlatego chciałem to zapisać f. char. żeby nie myśleć aż tyle, ale nie wiem dlaczego to prawdopodobieństwo nie pasuje do naszego modelu tzn. psuje się dla \(\displaystyle{ j=0}\)

[robertm19]

To jeszcze prosiłbym o wytłumaczcie \(\displaystyle{ (n-1)^r/n^r}\) bo jeszcze nie chwytam.

[porucznik]

Patrzymy na n urn, i rezygnując z jednej (i-tej) rozmieszczamy r kul do pozostałych n-1 urn, na \(\displaystyle{ (n-1)^{r}}\) sposobów. Z kolei wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ n^{r}}\). Właśnie już czuć że coś jest nie tak, no bo jakby kul było mniej niż urn to nadal w tym wzorze się nic nie zmieni, a jak sam mówiłeś to musi mieć znaczenie. Dlatego nie jestem pewien czy używanie teraz splotu zmiennych losowych jest dobrym pomysłem.. Coś na pewno jest nie tak

[robertm19]

Oj trochę namieszałem. Teraz już rozumiem. Wszystko co napisałtometomek91 jest ok, nawet dla \(\displaystyle{ r<n}\). Pozostaje zastanowić się czy zmienne są niezależne i obliczyć wariancję.

[porucznik]

Właśnie jak w takim razie stwierdzić czy \(\displaystyle{ Y_{i}}\) są niezależne?

[robertm19]

Policz kowariancje. Chyba nie będą niezależne.

[porucznik]

Ok zaraz popróbuję. Swoją drogą:

\(\displaystyle{ EY_i=n \cdot \frac{(n-1)^r}{n^r}}\).

\(\displaystyle{ P(Y=n-j) = {n\choose j}p^{n-j}q^{j}}\), gdzie \(\displaystyle{ p = \left( \frac{n-1}{n} \right)^r, q = 1-p}\)

Z tego wynikałoby, że \(\displaystyle{ Y \sim Bin(n,p)}\), wtedy \(\displaystyle{ EY = np=n \frac{(n-1)^r}{n^r}}\)
czyli wyniki by się zgadzały. Ale jeśli by się okazało że \(\displaystyle{ Y_{i}}\) nie są niezależne, to nie mam prawa w ten sposób liczyć splotu, bo

\(\displaystyle{ \phi_{Y}(t)= (\phi_{Y_{i}}(t))^n}\)

jest prawdą tylko dla zm. niezależnych więc zgadzałoby się, że się nie zgadza

@edit: Mam problem z policzeniem \(\displaystyle{ E(Y_{i} \cdot Y_{j})}\). Jakaś wskazówka?

[robertm19]

A to nie będzie podobnie
\(\displaystyle{ EY_{i}Y_{j}=1\cdot P(Y_{i}=1,Y_{j}=1)= \frac{(n-2)^r}{n^r}}\)