Pochodna Radona-Nikodyma

[Nesquik]

Rozkłady prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P_{1}, P_{2}}\)są zadane przez ich gęstości \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}}\) względem miary Lebesguea na \(\displaystyle{ R}\)
\(\displaystyle{ p_{1}(x)= \beta e^{- \beta x}1_{(0, \infty )}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ p_{2}(x)= \beta e^{- \beta (x-c)}1_{(c, \infty )}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ c>0}\) Zbadać czy \(\displaystyle{ P_{1}<<P_{2}}\) lub \(\displaystyle{ P_{2}<<P_{1}}\) W przypadku absolutnej ciągłośći podac dwie rózne wersje pochodnej Radona Nikodyma

Z pierwszej częsci zadania wyszło mi że \(\displaystyle{ P_{1}<<P_{2}}\), tylko nie bardzo wiem jak sie szuka/wyznacza różne wersje pochodnej R-N

[szw1710]

Zauważ, że \(\displaystyle{ p_2}\) definiuje całą rodzinę miar (po parametrze \(\displaystyle{ c}\)), do której należy \(\displaystyle{ p_1}\) (z \(\displaystyle{ c=0}\)). Zależność absolutnej ciągłości będzie w jedną stronę. Zbadaj własność monotoniczności. Oznaczmy Twoje \(\displaystyle{ p_2}\) przez ogólnie \(\displaystyle{ p_c}\). Teraz zbadaj czy z nierówności \(\displaystyle{ c<d}\) nie wynika czasem jakaś nierówność pomiędzy \(\displaystyle{ p_c}\) a \(\displaystyle{ p_d}\). Otrzymasz przy okazji uogólnienie Twojego zadania.

[Nesquik]

czyli mam \(\displaystyle{ p_{c}(x)= \beta e^{- \beta (x-c)}1_{(c, \infty )}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ c>0}\)
i \(\displaystyle{ p_{d}(x)= \beta e^{- \beta (x-d)}1_{(d, \infty )}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<c<d}\)
i jak to mam narysowanie to ten wykres z \(\displaystyle{ d}\) jest jeszcze bardziej na prawo od osi pionowej,ale nie bardzo wiem jak tą nierówność zapisać

[forgottenhopes]

Nesquik, mogłabyś pokazać jak doszłaś do tego, że \(\displaystyle{ P_{1}<<P_{2}}\)?
Albo chociaż naprowadzić jak to zrobić, bo kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać

[szw1710]

czyli mam \(\displaystyle{ p_{c}(x)= \beta e^{- \beta (x-c)}1_{(c, \infty )}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ c>0}\)
i \(\displaystyle{ p_{d}(x)= \beta e^{- \beta (x-d)}1_{(d, \infty )}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<c<d}\)
i jak to mam narysowanie to ten wykres z \(\displaystyle{ d}\) jest jeszcze bardziej na prawo od osi pionowej,ale nie bardzo wiem jak tą nierówność zapisać

No właśnie - to ta sama krzywa - przystająca do \(\displaystyle{ p_0}\). A więc jaka jest relacja? Skoro przy \(\displaystyle{ c<d}\) wykres \(\displaystyle{ p_d}\) leży bardziej na prawo, to przecież \(\displaystyle{ p_d\le p_c}\). Nieprawdaż? A jaka jest definicja absolutnej ciągłości? \(\displaystyle{ \mu\ll\nu}\), gdy \(\displaystyle{ \nu(A)=0\implies\nu(A)=0}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\) mierzalnego. Co w związku z tym?

[Nesquik]

forgottenhopes,
\(\displaystyle{ P_{1}=0}\) dla \(\displaystyle{ A \subset [- \infty ,0]}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=0}\) dla \(\displaystyle{ A \subset [- \infty ,c]}\)

-- 3 lip 2013, o 18:16 --

czyli mam \(\displaystyle{ p_{d} \ll p_{c}}\)