Witam,
mógłby mi ktoś podać kontrprzykład to następującej implikacji:
Ze zbieżności według prawdopodobieństwa nie wynika zbieżność z prawdopodobieństwem równym jeden.
Zbieżność według/z prawdopodobieństwem
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Zbieżność według/z prawdopodobieństwem
\(\displaystyle{ \Omega = (0,1], \ P = \lambda}\).
\(\displaystyle{ X_{k,n} (\omega) = 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right] }( \omega) , \quad 1 \le k \le n}\).
Wtedy ciąg \(\displaystyle{ X_{1,1},X_{1,2},X_{2,2},X_{1,3}, X_{2,3},...}\) zbiega do zera wg miary, bo
\(\displaystyle{ P\left( \left| X_{k,n}\right| > \varepsilon \right) \le \frac{1}{n} \rightarrow 0}\)
ale nie jest zbieżny w żadnym punkcie, więc nie jest też zbieżny prawie na pewno.
\(\displaystyle{ X_{k,n} (\omega) = 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right] }( \omega) , \quad 1 \le k \le n}\).
Wtedy ciąg \(\displaystyle{ X_{1,1},X_{1,2},X_{2,2},X_{1,3}, X_{2,3},...}\) zbiega do zera wg miary, bo
\(\displaystyle{ P\left( \left| X_{k,n}\right| > \varepsilon \right) \le \frac{1}{n} \rightarrow 0}\)
ale nie jest zbieżny w żadnym punkcie, więc nie jest też zbieżny prawie na pewno.