Twierdzenie o dwóch szeregach

[porucznik]

Mamy ciąg zm. los. \(\displaystyle{ Y_{n}}\) niezależnych o jednakowym rozkładzie (normalny standardowy). Zbadać zbieżność szeregów:

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{Y_{n}}{n}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{Y_{n}}{\sqrt{n}}}\)

Czy możemy korzystać tutaj z tw. o dwóch szeregach? Czy wtedy następujące odpowiedzi są poprawne?

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} E( \frac{Y_{n}}{n} ) = 0 < \infty}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} Var(\frac{Y_{n}}{n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = 1 < \infty}\)

Zatem z tw. o dwóch szeregach, szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{Y_{n}}{n}}\) jest zbieżny.

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} E(\frac{Y_{n}}{\sqrt{n}}) = 0 < \infty}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} Var(\frac{1}{n^{2}}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty}\)

I nie możemy skorzystać z tw. o 2ch szer. W jaki sposób zbadać zbieżność b)? Twierdzenie o 3ch. szeregach? Jak wtedy powinny wyglądać obcięcia danych zm. los.?

Pozdrawiam.

[robertm19]

W jakim sensie mają być te zbieżności. Nie znam także tw o2 szeregach, jak możesz to wyjaśnij.

[porucznik]

Chodzi o zbieżność prawie wszędzie. A tw. o 2ch szeregach mówi, że jeśli mamy ciąg niezależnych zm. los. \(\displaystyle{ (X_{n})}\) oraz

1) szereg wartości oczekiwanych jest zbieżny
2) szereg wariancji jest zbieżny

to wtedy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} X_{n}}\) jest zbieżny.

Czyli mamy tylko implikację. W b) nie są spełnione założenia tego tw. więc nam nie pomoże. Trzeba zrobić to pewnie jakoś z tw. o 3ch szeregach Kołmogorowa niestety nie wiem jak. Uprzejmie proszę o pomoc

[robertm19]

Niestety nie miałem tego na studiach teraz się przyuczam i nie mam pomysłu na razie.