Prawdopodobieństwo, wartość oczekiwana, std. odchylenie

[patryk007]

Ciężar opakowania \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa danym przez funkcję gęstości

\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\begin{cases}x-9 & 9\le x\le 10 \\
11-x & 10<x\le 11 \\
0 & \text{dla pozostałych } x\end{cases}}\)

Cena artykułu jest ustalona na \(\displaystyle{ 3 \text{ zł}}\). Koszt produkcji jednostkowej jest funkcją ciężaru opakowania i wynosi \(\displaystyle{ Y=X/10+1\text{ [zł]}}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest ciężarem. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że koszt jednostkowy przekroczy \(\displaystyle{ 2,05\text{ zł}}\). Obliczyć wartość oczekiwaną oraz standardowe odchylenie zysku.

[miodzio1988]

problem masz tutaj jaki? Jakieś propozycje?

[patryk007]

Sorry, myślałem, że tego nie umiem, a chyba jednak coś mam:

\(\displaystyle{ P(Y>2,05)=1-P(Y \le 2,05)=1-P(X/10 + 1\le 2,05)=1-P(X/10\le 1,05)=1-P(X\le 10,5)=1-F(10,5)}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f_{x}(t) dt=\\ =\begin{cases}0 &x\le 9 \\
\frac{(x-9)^2}{2} & x\in (9,10]\\
\frac{1}{2}\cdot (1+(12-x)(x-10)) & x>10\end{cases}=\\=
\begin{cases}0 &x\le 9 \\
\frac{(x-9)^2}{2} & x\in (9,10]\\
(x-11+\sqrt{2})(x-11-\sqrt{2}) & x>10\end{cases}}\)

W tym przypadku, zamiast liczyć całki, wystarczy narysować sobie \(\displaystyle{ f_{X}(x)}\), zobaczyć jak wygląda i zsumować pola w odpowiednich przedziałach, bo to trójkątny wykres funkcji.

Żeby zaś wyliczyć \(\displaystyle{ E(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f_{X}(x)dx}\)
Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji \(\displaystyle{ V(X)}\), a wariancja (drugi moment centralny) to \(\displaystyle{ V(X)=E(X^2)-E(X)=E([X-E(X)]^2)}\).

Czy dobrze?

Nie do końca wiem dlaczego tak sobie mogę przekształcać tę nierówność w nawiasie na samym początku tego posta. Jakby ktoś mógł wyjaśnić to chętnie się dowiem, bo nie jest to dla mnie oczywiste. Pewnie się trzeba dobrze popatrzeć na definicję prawdopodobieństwa.

EDIT
Czy ja tu nie powinienem policzyć \(\displaystyle{ E(3-Y)=E(3-X/10+1)=E(4-X/10)}\) i \(\displaystyle{ V(3-Y)=V(4-X/10)}\)?

[miodzio1988]

Pierwsze przejście? No jest to właśność dotycząca zdarzenia przeciwnego

[patryk007]

1. Nie. Chodziło mi o to, że dlaczego z \(\displaystyle{ P(a\le b)}\) mogę sobie zrobić \(\displaystyle{ P(a\cdot c \le b\cdot d)}\). Dlaczego te prawdopodobieństwa są równe?
2. miodzio1988 odpowiedz proszę czy mój EDIT jest prawdziwy, bo przed edit'em nigdzie nie wykorzystałem tych \(\displaystyle{ 3\text{ zł}}\) ;P

[miodzio1988]

1. A gdzie Ty niby z takiej wlasnosci korzystasz?

[patryk007]

Np. przy przejściu \(\displaystyle{ 1-P(X/10\le 1,05)=1-P(X\le 10,5)}\).

[miodzio1988]

mnozysz przez dziesięć dwie strony i tyle

[patryk007]

Wiem, ale ja pytałem dlaczego tak jest.

Tzn. dlaczego prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P(a\cdot X\le a\cdot Y)\quad (a>0)}\)
jest równoważne
\(\displaystyle{ P(X\le Y)}\)

Dlaczego te prawdopodobieństwa są równe sobie?

Nie zdaje mi się to równie oczywiste jak to, że
\(\displaystyle{ a\cdot x\le a\cdot y\quad (a>0)}\)
jest równoważne
\(\displaystyle{ x\le y}\)

[miodzio1988]

Nie są. Jedynie są dla \(\displaystyle{ a=b}\)