Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne o jednakowym rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal{N}(1,1)}\). Niech \(\displaystyle{ U=2X-Y}\), a \(\displaystyle{ V=X-2Y}\). Wyznaczyć gęstość zmiennych losowych \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) oraz współczynnik korelacji \(\displaystyle{ p_{UV}}\).
Nie wiem jak się za to zabrać. Po prostu. Proszę o pomoc.
Standaryzowany rozkład normalny - gęstość zmiennych losowych
Standaryzowany rozkład normalny - gęstość zmiennych losowych
Współczynnik korelacji to proste przekształcenia algebraiczne oparte na liniowości wartości oczekiwanej i niezależności. Wymnóż nawiasy i policz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Standaryzowany rozkład normalny - gęstość zmiennych losowych
\(\displaystyle{ \Cov(U,V)=Cov(2X-Y,X-2Y)=Cov(2X,X-2Y)-Cov(Y,X-2Y)=2Cov(X,X)-4Cov(X,Y)-Cov(X,Y)+2Cov(Y,Y)}\), wszystko wynika z liniowości kowariancji.
- patryk007
- Użytkownik
- Posty: 427
- Rejestracja: 1 kwie 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Standaryzowany rozkład normalny - gęstość zmiennych losowych
OK. Zrobiłem jak zasugerował szw1710. Po strasznie uciążliwych i względnie długich obliczeniach wyszło, że korelacja wynosi w tym przypadku \(\displaystyle{ 0,8}\).
Współczynnik korelacji zmiennych losowych \(\displaystyle{ U,\ V}\) to \(\displaystyle{ \rho (U,V) = \frac{Cov(U,V)}{\sigma_{U} \cdot \sigma_{V}}=\frac{4}{5}}\) (rozkład obu zmiennych losowych jest \(\displaystyle{ \mathcal{N}(1,1)}\), więc \(\displaystyle{ E(X)=E(Y)=1}\) i \(\displaystyle{ \sigma_{X} ^ 2=\sigma_{Y}^2=1}\)).
W obliczeniach korzystałem z:
Współczynnik korelacji zmiennych losowych \(\displaystyle{ U,\ V}\) to \(\displaystyle{ \rho (U,V) = \frac{Cov(U,V)}{\sigma_{U} \cdot \sigma_{V}}=\frac{4}{5}}\) (rozkład obu zmiennych losowych jest \(\displaystyle{ \mathcal{N}(1,1)}\), więc \(\displaystyle{ E(X)=E(Y)=1}\) i \(\displaystyle{ \sigma_{X} ^ 2=\sigma_{Y}^2=1}\)).
W obliczeniach korzystałem z:
- \(\displaystyle{ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)}\)
- \(\displaystyle{ \sigma_{X}=\sqrt{V(X)}}\)
- \(\displaystyle{ V(X)=E(X^2)-E^2(X)}\)
- \(\displaystyle{ E(aX+bY)=a\cdot E(X) + b\cdot E(Y)}\)
- \(\displaystyle{ V(aX+bY)=a^2 E(X) + b^2 E(Y) + 2ab\cdot Cov(X,Y)}\)
- jeśli zmienne losowe są niezależne to \(\displaystyle{ E(XY)=E(X)\cdot E(Y)}\) i \(\displaystyle{ Cov(X,Y)=0}\) (wniosek z 1)
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Standaryzowany rozkład normalny - gęstość zmiennych losowych
Odpowiedz sobie najpierw jaki ma rozkład zmienna \(\displaystyle{ 2X}\) i \(\displaystyle{ -Y}\).
Potem skorzystaj z własności 2. na stronie
Korelacja jest dobrze wyznaczona.
Potem skorzystaj z własności 2. na stronie
Korelacja jest dobrze wyznaczona.
- patryk007
- Użytkownik
- Posty: 427
- Rejestracja: 1 kwie 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Standaryzowany rozkład normalny - gęstość zmiennych losowych
Znalazłem, że jeśli \(\displaystyle{ X_{1}\sim\mathcal{N}(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})}\) i \(\displaystyle{ X_{2}\sim\mathcal{N}(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})}\) to \(\displaystyle{ X_{1} \pm X_{2} \sim \mathcal{N}(\mu_{1}\pm\mu_{1},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})}\). Z czego można skorzystać nie wyznaczając rozkładu \(\displaystyle{ -U}\).
Mimo wszystko spróbowałem do wyznaczyć gęstość rozkładu \(\displaystyle{ -U}\).
Gęstość rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu , \ \sigma^2)}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ f_{\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})}}\).
Więc aby policzyć gęstość rozkładu dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ -X}\) liczę:
\(\displaystyle{ f_{\mu,\sigma}(-x)=\\=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{(-x-\mu)^2}{2\sigma^2})}=\\=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2})}=\\=
f_{-\mu,\sigma}(x)
=\\=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{((x+2\sigma)-\mu)^2}{2\sigma^2})}=\\=f_{\mu,\sigma}(x+2\sigma )}\)
Więc \(\displaystyle{ -X\sim \mathcal{N}(-\mu,\sigma^2)}\). I chyba to chciałem pokazać. ;P
---------
Więc ostatecznie rozkłady \(\displaystyle{ U,\ V}\) są takie:
\(\displaystyle{ 2X\sim \mathcal{N}(2,2)\\
U=2X-Y\sim \mathcal{N}(1,3)}\)
\(\displaystyle{ 2Y\sim \mathcal{N}(2,2)\\
V=X-2Y\sim\mathcal{N}(-1,3)}\)
Mimo wszystko spróbowałem do wyznaczyć gęstość rozkładu \(\displaystyle{ -U}\).
Gęstość rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu , \ \sigma^2)}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ f_{\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})}}\).
Więc aby policzyć gęstość rozkładu dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ -X}\) liczę:
\(\displaystyle{ f_{\mu,\sigma}(-x)=\\=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{(-x-\mu)^2}{2\sigma^2})}=\\=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2})}=\\=
f_{-\mu,\sigma}(x)
=\\=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot\exp{(-\frac{((x+2\sigma)-\mu)^2}{2\sigma^2})}=\\=f_{\mu,\sigma}(x+2\sigma )}\)
Więc \(\displaystyle{ -X\sim \mathcal{N}(-\mu,\sigma^2)}\). I chyba to chciałem pokazać. ;P
---------
Więc ostatecznie rozkłady \(\displaystyle{ U,\ V}\) są takie:
\(\displaystyle{ 2X\sim \mathcal{N}(2,2)\\
U=2X-Y\sim \mathcal{N}(1,3)}\)
\(\displaystyle{ 2Y\sim \mathcal{N}(2,2)\\
V=X-2Y\sim\mathcal{N}(-1,3)}\)