Dobrać stałą tak aby funkcja była gęstością dwuwym. zmiennej

[patryk007]

Dana jest funkcja

\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} c\cdot (1-x) & 0 \le x \text{, } y \le 1 \\
0 &\text{dla pozostałych} (x,y)\end{cases}}\)

1. Dobrać stałą \(\displaystyle{ c}\) tak aby \(\displaystyle{ f}\) była gęstością pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X,Y)}\).
2. Wyznaczyć gęstości brzegowe.
3. Sprawdzić czy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
4. Wyznaczyć wartość dystrybuanty \(\displaystyle{ F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\).
5. Obliczyć \(\displaystyle{ E(XY)}\).

------

( 1 ) Aby \(\displaystyle{ f(x,y)}\) była funkcją gęstości typu ciągłego pewnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, \ Y}\) muszą być spełnione warunki:

1. \(\displaystyle{ f(x,y) \ge 0 \quad \forall{x, \ y\in \mathbb{R}}}\)
2. \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx dy=1}\)

Tylko, że jeśli \(\displaystyle{ 0 \le x \text{, } y \le 1}\) to jeśli:

• \(\displaystyle{ xin [0,1)}\) to \(\displaystyle{ c \ge 0}\)
• \(\displaystyle{ x \ge 1}\) to \(\displaystyle{ c \le 0}\)

więc takie \(\displaystyle{ c}\) nie istnieje żeby spełniało warunek (1) (tzn. istnieje \(\displaystyle{ c=0}\), ale to nas nie interesuje, bo to nie spełnia warunku (2)).

Gdzie źle rozumuję?

------

( 2 ) Czy wystarczy policzyć:
\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\
f_{Y}(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx}\)
?

------

( 3 ) Czy wystarczy sprawdzić czy:
\(\displaystyle{ F(x,y) = F_{1}(x)\cdot F_{2}(y) \\ \text{gdzie:}\\ F_{1}(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x,y)dy \\ F_{2}(y)=\int\limits_{-\infty}^{y}f(x,y)dx \\ F(x,y)=\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy}\)
?
Jeśli to zachodzi to zmienne losowe są niezależne.

------

( 4 ) Czy wystarczy policzyć \(\displaystyle{ F(x,y)=\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy}\) dla \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}, \ y = \frac{1}{2}}\)?

------

( 5 ) Czy wystarczy policzyć \(\displaystyle{ E(XY)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\cdot y\cdot f(x,y)dxdy}\)?

[robertm19]

Tak, dobrze myślisz, ale jeżeli chodzi o tą gęstość tam chyba jest
\(\displaystyle{ 0\le x\le 1}\)
\(\displaystyle{ 0\le y\le 1}\)
Wtedy dobierzesz stałą.

[patryk007]

No pewnie, że tak... Wielkie dzięki, sam nie wpadłbym na to. ;P

Co do wyników to jakby ktoś to z jakiś powodów sam policzył i chciał porównać to podaję co mi wyszło:
( 1 ) \(\displaystyle{ c=2}\)
( 2 ) \(\displaystyle{ f_{X}(x)=-2x+2 \\ f_{Y}(y)=1}\)
( 3 ) Nie wiem czy zmienne losowe są zależne, bo \(\displaystyle{ f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) \neq f(x,y) \quad \forall_{x,y\in\mathbb{R}}}\). Tylko dla \(\displaystyle{ 0\le x \le 1\text{, } 0\le y\le 1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) = f(x,y)}\), więc odpowiedziałbym, że nie, zmienne nie są niezależne (niech ktoś napisze czy dobrze myślę)
( 4 ) \(\displaystyle{ F(\frac{1}{2},\ \frac{1}{2})=\frac{1}{8}}\)
( 5 ) \(\displaystyle{ E(XY)=\frac{1}{6}}\)

Jak jakieś zastrzeżenia to śmiało pisać. Szczególnie chodzi o ppkt.3.

[robertm19]

(3) gęstości są równe, jak ci wyszło, że nie?
(4) mathematica wyliczyła \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)

Reszta dobrze.

[patryk007]

( 3 ) Racja, znalazłem błąd, thx.
( 4 ) Masz, że \(\displaystyle{ f_{X}(x)=-2x+2 \\ f_{Y}(y)=1}\)
Weź np. \(\displaystyle{ x=-1, y=2}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ f_{X}(x=-1)=4\\ f_{Y}(y=2)=1 \\ f(x=-1, \ y=2)=0}\)

A \(\displaystyle{ 0\neq 1\cdot 4}\), czyli \(\displaystyle{ \exists_{x,y\in\mathbb{R}} \ f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)\neq f(x,y)}\).

[robertm19]

\(\displaystyle{ f_{X}}\) i \(\displaystyle{ f_{Y}}\) też są określone na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Dla \(\displaystyle{ x=-1}\), \(\displaystyle{ f_{X}=0}\)

[patryk007]

Nie rozumiem co próbujesz mi powiedzieć. Pokazałem, że nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \forall x,y\in\mathbb{R}\ f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)=f(x,y)}\) (dałem kontrprzykład). Skoro taka równość nie zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}\) tzn., że zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie nie są liniowo niezależne.

A przykład na niespełnienie tej równości podałem wyżej. Albo Ty mnie, albo ja Ciebie nie rozumiem. Zdaje mi się, że zapominasz, że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) przyjmuje \(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ (x,y)}\).

[robertm19]

Tak, w punkcie (2) nie zwróciłem Ci uwagi na to wcześniej.
\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\int_{0}^{1} f(x,y)dy}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)\ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) ale
dla x poza tym przedziałem jest \(\displaystyle{ 0}\), więc
\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\int_{0}^{1} f(x,y)dy=\int_{0}^1 0 dy=0}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\) lub \(\displaystyle{ x<0}\)