\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} c\cdot (1-x) & 0 \le x \text{, } y \le 1 \\
0 &\text{dla pozostałych} (x,y)\end{cases}}\)
- Dobrać stałą \(\displaystyle{ c}\) tak aby \(\displaystyle{ f}\) była gęstością pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X,Y)}\).
- Wyznaczyć gęstości brzegowe.
- Sprawdzić czy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
- Wyznaczyć wartość dystrybuanty \(\displaystyle{ F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\).
- Obliczyć \(\displaystyle{ E(XY)}\).
( 1 ) Aby \(\displaystyle{ f(x,y)}\) była funkcją gęstości typu ciągłego pewnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, \ Y}\) muszą być spełnione warunki:
- \(\displaystyle{ f(x,y) \ge 0 \quad \forall{x, \ y\in \mathbb{R}}}\)
- \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx dy=1}\)
- \(\displaystyle{ xin [0,1)}\) to \(\displaystyle{ c \ge 0}\)
- \(\displaystyle{ x \ge 1}\) to \(\displaystyle{ c \le 0}\)
Gdzie źle rozumuję?
------
( 2 ) Czy wystarczy policzyć:
\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \\
f_{Y}(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx}\)
?
------
( 3 ) Czy wystarczy sprawdzić czy:
\(\displaystyle{ F(x,y) = F_{1}(x)\cdot F_{2}(y) \\ \text{gdzie:}\\ F_{1}(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(x,y)dy \\ F_{2}(y)=\int\limits_{-\infty}^{y}f(x,y)dx \\ F(x,y)=\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy}\)
?
Jeśli to zachodzi to zmienne losowe są niezależne.
------
( 4 ) Czy wystarczy policzyć \(\displaystyle{ F(x,y)=\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy}\) dla \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}, \ y = \frac{1}{2}}\)?
------
( 5 ) Czy wystarczy policzyć \(\displaystyle{ E(XY)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\cdot y\cdot f(x,y)dxdy}\)?