Monety, prawdopodobieństwo warunkowe.

[crooveck]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego oto zadania:
Wśród 10 monet są 3 fałszywe, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 2/3. Gracz losuje monetę i wykonuje nią 10 rzutów.
Jakie jest prawdopodobieństwo (warunkowe), że wyrzucił łącznie 7 orłów, jeżeli w pierwszych pięciu rzutach wyrzucił 3 orły?

Moje rozwiązanie:
A - losowanie jednego orła
F - wybór monety fałszywej
P - wybór monety prawdziwej

Z prawdopodobieństwa całkowitego:

\(\displaystyle{ P \left( A \right) = P \left( A | F \right) \cdot P \left( F \right) +P \left( A | P \right) \cdot P \left( P \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} = \frac{11}{20}}\)

Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wylosowanych orłów w 10 rzutach, B - takie zdarzenie:

\(\displaystyle{ P \left( B \right) = P \left( X=7 \right) = {10 \choose 7} \cdot \left( \frac{11}{20} \right) ^{7} \cdot \left( \frac{9}{20} \right) ^{3}}\)

Niech zmienna Y oznacza liczbę wylosowanych orłów w 5 rzutach, C - takie zdarzenie:

\(\displaystyle{ P \left( C \right) = P \left( Y=3 \right) = {5 \choose 3} \cdot \left( \frac{11}{20} \right) ^{3} \cdot \left( \frac{9}{20} \right) ^{2}}\)

Dalej definiuję prawdopodobieństwo warunkowe:

\(\displaystyle{ P \left( B | C \right) = \frac{P \left( B \cap C \right) }{P \left( C \right) }}\)

I tu zaczynają się schody. Czy powyższe obliczenia mają sens? Jak mogę policzyć \(\displaystyle{ P \left( B \cap C \right)}\) i dokończyć zadanie?

-- 26 cze 2013, o 15:12 --

Hmm, skoro \(\displaystyle{ P \left( B \cap C \right)}\) czyli prawdopodobieństwo wylosowania w 3 orłów w pierwszych 5 losowaniach i 7 orłów w ogóle w 10 losowaniach, to czy można uznać, że mamy na myśli losowanie 4 orłów w rzutach od szóstego do dziesiątego?

Jeśli tak to:

\(\displaystyle{ P \left( B \cap C \right) = {5 \choose 4} \cdot \left( \frac{11}{20} \right) ^{4} \cdot \left( \frac{9}{20} \right) ^{1}}\)

[Barbara777]

Ja bym to zrobila tak:
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, ze wypadlo 7 orlow.
\(\displaystyle{ A}\) jest zdarzeniem polegajacym na tym, ze gosciu wyrzucil w pieciu rzutach (tzn rzutach 6-tym, 7-mym, 8-mym , 9-tym i 10-tym) 4 orly.
Niech
\(\displaystyle{ H_1}\) - wylosowal monete "normalna"
\(\displaystyle{ H_2}\)- wylosowal monete falszywa
Prawd. calkowite:

\(\displaystyle{ P(A)=P(A/H_1)P(H_1)+P(A/H_2)P(H_2)}\)

\(\displaystyle{ P(H_1)=\frac{7}{10}, \quad P(H_2)=\frac{3}{10}}\)

A \(\displaystyle{ P(A/H_1)}\) i \(\displaystyle{ P(A/H_2)}\) liczysz tez latwo z Bernoulli'ego.

\(\displaystyle{ P(A/H_1)={5\choose 4}\Big(\frac{1}{2}\Big)^4\frac{1}{2}, \quad P(A/H_2)={5\choose 4}\Big(\frac{2}{3}\Big)^4\frac{2}{3}}\)