Charakterystyki wielowymiarowych zm. losowych

[mce1410]

Mam zadanie następujące:
Z odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0, 1\right]}\) wybrano zgodnie z rozkładem jednostajnym, zmienną losową X,
następnie, z odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0, X\right]}\) wybrano, również zgodnie z rozkładem jednostajnym, zmienną losową Y.
Znaleźć rozkład brzegowy \(\displaystyle{ f_{Y}\left(y\right)}\) oraz wartość oczekiwaną Y.-- 25 cze 2013, o 17:01 --wyszło mi coś takiego:

skoro gęstość zmiennej x: \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1 \Leftrightarrow x \in \left(0,1\right) \\ 0 \Leftrightarrow wpp \end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{x} \Leftrightarrow x \in \left(0,1\right), y \in \left(0,x\right) \\ 0 \Leftrightarrow wpp \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ f_x(x)= \int_{0}^{x} \frac{1}{x}dy = 1}\)
i \(\displaystyle{ f_y(y) = \int_{0}^{1} \frac{1}{x}dx}\) -ale tu wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\)
więc zrobię sobie podstawienie, że mam jakieś \(\displaystyle{ t \rightarrow 0}\) i wtedy \(\displaystyle{ x \in (t,1)}\)
wtedy ta całka jest \(\displaystyle{ f_y(y) = \int_{t}^{1} \frac{1}{x}dx = ln \left( 1\right) - ln \left( t\right)}\) i to sobie \(\displaystyle{ \rightarrow \infty}\)
i wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ EY = \int_{0}^{x} y \cdot \frac{1}{x} dy = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{x}{2}}\)

pytanie za 100 punktów: jak bardzo przekombinowałam?