Witam Przygotowuje się do egzaminu, który odbędzie się w czwartek i między innymi próbuje rozwiązywać niektóre zadania z egzaminu z roku poprzedniego.. Niestety nie mam pewności, że robię te zadania poprawnie.. Jest możliwość szybkiego sprawdzenia, ewentualnie drobnej pomocy, jeśli coś jest nie tak?
Zad.1
Wiedząc, że funkcja tworząca momenty ma postać \(\displaystyle{ M_{x}(t) = 0,1e^{5t}+0,2^{-7t}+0,7}\) oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
A więc obliczam to w następujący sposób.. Obliczam pochodną "po t" z całej funkcji tworzącej momenty, a gdy już to zrobię podkładam za t zero i wychodzi mi wynik \(\displaystyle{ -0,9}\). Czy moje rozumowanie jest prawidłowe/błędne?
Zad.2
Wiedząc, że \(\displaystyle{ DX=0,5}\), \(\displaystyle{ DY=2}\) oraz \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne oblicz \(\displaystyle{ D^{2}(-2X-3Y+1)}\).
A więc..
\(\displaystyle{ D^{2}(-2X-3Y+1)=D^{2}(-2X)+D^{2}(-3Y)+D^{2}(1)= (-2)^{2} D^{2}(X)+(-3)^2D^2(Y)+0=4\cdot 0,5^2+9\cdot 2^2=1+36=37}\)
Zad.3
Wyznacz medianę zmiennej losowej o rozkładzie \(\displaystyle{ N(2;0,5)}\).
Gdzieś tam wyczytałem, że z racji symetryczności rozkładu normalnego mediana jest równa wartości oczekiwanej. I teraz nie wiem, czy to zadanie jest tak proste, że wystarczy to zauważyć, odczytać, że \(\displaystyle{ EX=2}\) i na tej podstawie sądzić, że \(\displaystyle{ Me=EX=2}\), czy trzeba coś kombinować ze standaryzacją, czy coś?
Zad.4
Wiedząc, że wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ 4}\), wyznacz wariancję zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cccccc}
x_{i} & -1 & 0 & 2 & 5 & 10 \\
p_{i} & 0,1 & x & 0,3 & 0,3 & y \\
\end{tabular}}\)
Na tej podstawie robię zwykły układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0,7+x+y=1\\-1\cdot 0,1+0x+2\cdot 0,3+5\cdot 0,3+10y=4\end{cases}}\)
rozwiązuje go dostając wyniki odpowiednio \(\displaystyle{ x=0,1}\) i \(\displaystyle{ y=0,2}\). Teraz podkładam wszystkie dane do wzoru na wariancję \(\displaystyle{ D^2X= \sum_{}^{} ( x_{i}-EX)^2\cdot p_{i}}\) i wychodzi mi wariancja równa \(\displaystyle{ 11,2}\).
Bardzo proszę o przejrzenie tych zadań przez kogoś obytego, to są te prostsze jak na moje oko, ale bez odpowiedzi nie jestem w ogóle pewny, czy robię dobrze