Mam problem z dowodem tego twierdzenia.
Twierdzenie:
Każda miara na przestrzeni metrycznej, ośrodkowej i zupełnej jest ciasna.
Miara ciasna.
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Miara ciasna.
Niech \(\displaystyle{ \{a_1,a_2,\ldots \}}\) będzie przeliczalnym zbiorem gęstym w \(\displaystyle{ X}\). Dla każdego \(\displaystyle{ \delta>0}\) mamy
\(\displaystyle{ X = \bigcup_{n=1}^\infty K(a_n, \delta)}\).
Mamy więc
\(\displaystyle{ \mu(X) = \lim_{n\to \infty} \mu( \bigcup_{m=1}^n K(a_m, \delta) ).}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje wówczas takie \(\displaystyle{ m}\), że
\(\displaystyle{ \mu( \bigcup_{k=1}^{n_m} K(a_k, \tfrac{1}{m}) ) > \mu(X) - \frac{\varepsilon}{2^m}}\)
Niech
\(\displaystyle{ K = \bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{k=1}^{n_m} \overline{K(a_k, \tfrac{1}{m})}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ K}\) jest domknięty i całkowicie ograniczony, a więc zwarty. Porachuj proszę, że
\(\displaystyle{ \mu(X\setminus K) < \sum_{m=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^m} = \varepsilon.}\)
\(\displaystyle{ X = \bigcup_{n=1}^\infty K(a_n, \delta)}\).
Mamy więc
\(\displaystyle{ \mu(X) = \lim_{n\to \infty} \mu( \bigcup_{m=1}^n K(a_m, \delta) ).}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje wówczas takie \(\displaystyle{ m}\), że
\(\displaystyle{ \mu( \bigcup_{k=1}^{n_m} K(a_k, \tfrac{1}{m}) ) > \mu(X) - \frac{\varepsilon}{2^m}}\)
Niech
\(\displaystyle{ K = \bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{k=1}^{n_m} \overline{K(a_k, \tfrac{1}{m})}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ K}\) jest domknięty i całkowicie ograniczony, a więc zwarty. Porachuj proszę, że
\(\displaystyle{ \mu(X\setminus K) < \sum_{m=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^m} = \varepsilon.}\)