Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono \(\displaystyle{ 20}\) helikopterów. Każdy z nich można skierować do jednego z dwóch rejonów, w których może, z prawdopodobieństwem odpowiednio \(\displaystyle{ 1/3}\) i \(\displaystyle{ 1/6}\), znajdować się poszukiwany rozbitek. każdy helikopter wykrywa znajdującego się w rejonie poszukiwania rozbitka z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q = 1- (0,5)^{ \frac{1}{10}}}\) i dokonuje tego niezależnie od pozostałych helikopterów. Rozstrzygnij, jak należy rozdzielić helikoptery pomiędzy rejony poszukiwań, żeby prawdopodobieństwo znalezienia rozbitka było jak największe.
Czy mógłby ktoś udzielić mi jakichkolwiek wskazówek dotyczących rozwiązania tego zadania?
Zaginiony rozbitek i helikoptery
-
porucznik
- Użytkownik
- Posty: 214
- Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 13 razy
Zaginiony rozbitek i helikoptery
Może tak:
\(\displaystyle{ p_{A}=1/3}\) p-ństwo, że rozbitek jest w sektorze A (samo zdarzenie oznaczmy przez \(\displaystyle{ A'}\))
\(\displaystyle{ p_{B}=1/6 --,-- B}\)(samo zdarzenie oznaczmy przez \(\displaystyle{ B'}\))
Oznaczmy p-ństwo, że i-ty helikopter znajdzie rozbitka w sektorze w którym się znajduje przez \(\displaystyle{ p}\), a zdarzenie które na tym polega przez \(\displaystyle{ A_{i}}\).
W takim razie p-ństwo, że helikopter nie znajdzie rozbitka wynosi \(\displaystyle{ 1-p}\).
Niech \(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie polegające na NIE znalezieniu rozbitka
\(\displaystyle{ P(A) = P(A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap ... \cap A_{n}^{c} \cap (A' \cup B')) = P\left( ((A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap ... \cap A_{n}^{c})\cap A') \cup ((A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap ... \cap A_{n}^{c}) \cap B') \right)}\)
Co oznacza tyle - nie znajdziemy rozbitka, jeśli żaden z helikopterów 1..20 go nie znajdzie w sektorze pierwszym lub żaden z nich nie znajdzie go w sektorze drugim.
Kolejna uwaga - zauważymy, że \(\displaystyle{ p_{A}+ p_{B} = 1/2}\), więc do \(\displaystyle{ 1}\) brakuje nam jeszcze \(\displaystyle{ 1/2}\). Możemy to interpretować w ten sposób, że rozbitek może być w innym trzecim sektorze, ale nie wysyłamy tam żadnych helikopterów więc tak czy owak jeśli tam jest to go nie znajdziemy
Teraz powiemy tak: przydzielmy helikoptery od 1 do n do pierwszego sektora i od n+1 do 20 do drugiego. Teraz będziemy korzystać z tego, że jeśli zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1},...,A_{20}}\) są niezależne to ich dopełnienia tak samo.
\(\displaystyle{ P(A) = P(A')\cdot P(A_{1}^{c})...P(A_{n}^{c}) + P(B') \cdot P(A_{n+1}^{c})...P(A_{20}^{c})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3} (1-p)^{n} + \frac{1}{6} (1-p)^{20-n}}\). I ostatecznie szukamy teraz takiego \(\displaystyle{ n}\), dla którego nasza funkcja będzie osiągała wartość minimalną.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ p_{A}=1/3}\) p-ństwo, że rozbitek jest w sektorze A (samo zdarzenie oznaczmy przez \(\displaystyle{ A'}\))
\(\displaystyle{ p_{B}=1/6 --,-- B}\)(samo zdarzenie oznaczmy przez \(\displaystyle{ B'}\))
, tutaj chyba kapkę za dużo się napisałodaiska pisze:\(\displaystyle{ q = 1− 10 \sqrt{0,5}}\)
Oznaczmy p-ństwo, że i-ty helikopter znajdzie rozbitka w sektorze w którym się znajduje przez \(\displaystyle{ p}\), a zdarzenie które na tym polega przez \(\displaystyle{ A_{i}}\).
W takim razie p-ństwo, że helikopter nie znajdzie rozbitka wynosi \(\displaystyle{ 1-p}\).
Niech \(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie polegające na NIE znalezieniu rozbitka
\(\displaystyle{ P(A) = P(A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap ... \cap A_{n}^{c} \cap (A' \cup B')) = P\left( ((A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap ... \cap A_{n}^{c})\cap A') \cup ((A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap ... \cap A_{n}^{c}) \cap B') \right)}\)
Co oznacza tyle - nie znajdziemy rozbitka, jeśli żaden z helikopterów 1..20 go nie znajdzie w sektorze pierwszym lub żaden z nich nie znajdzie go w sektorze drugim.
Kolejna uwaga - zauważymy, że \(\displaystyle{ p_{A}+ p_{B} = 1/2}\), więc do \(\displaystyle{ 1}\) brakuje nam jeszcze \(\displaystyle{ 1/2}\). Możemy to interpretować w ten sposób, że rozbitek może być w innym trzecim sektorze, ale nie wysyłamy tam żadnych helikopterów więc tak czy owak jeśli tam jest to go nie znajdziemy
Teraz powiemy tak: przydzielmy helikoptery od 1 do n do pierwszego sektora i od n+1 do 20 do drugiego. Teraz będziemy korzystać z tego, że jeśli zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1},...,A_{20}}\) są niezależne to ich dopełnienia tak samo.
\(\displaystyle{ P(A) = P(A')\cdot P(A_{1}^{c})...P(A_{n}^{c}) + P(B') \cdot P(A_{n+1}^{c})...P(A_{20}^{c})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3} (1-p)^{n} + \frac{1}{6} (1-p)^{20-n}}\). I ostatecznie szukamy teraz takiego \(\displaystyle{ n}\), dla którego nasza funkcja będzie osiągała wartość minimalną.
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 23 cze 2013, o 21:30 przez porucznik, łącznie zmieniany 1 raz.