W grupie studentów przeprowadzany jest test z analizy...

[abigail]

W grupie studentów przeprowadzany jest test z analizy, w którym można uzyskać od 0 do 100 pkt. Liczba punktów, jaką może uzyskać k-ty student jest zmienną losową \(\displaystyle{ X_{k}}\). Przyjmijmy, że rozkład \(\displaystyle{ X_{k}}\) jest identyczny dla wszystkich studentów, przy czym \(\displaystyle{ EX _{k}=50, DX _{k} =10}\) dla każdego k. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przeciętna liczba punktów 100-osobowej grupie będzie z przedziały 20-80 punktów

[pyzol]

Korzystasz z Centralnego twierdzenia granicznego. Na oko, to prawdopodobieństwo, że średnia będzie w tym przedziale jest bliskie jedynki.

[abigail]

A czy możliwe jest rozwiązanie całego zadania?

[pyzol]

No tak z treści to wygląda, że da radę zrobić całe zadanie...

\(\displaystyle{ P\left( 20\le \overline{X} \le 80 \right)=P\left( 20\cdot 100\le \sum_{i=1}^{100} X_i \le 80\cdot 100\right)=\\
=P\left( 20\cdot 100-50\cdot 100\le \sum_{i=1}^{100} X_i-50\cdot 100 \le 80\cdot 100-50\cdot 100\right)=}\)
\(\displaystyle{ P\left( \frac{20\cdot 100-50\cdot 100}{10\cdot \sqrt{100}}\le \frac{\sum_{i=1}^{100} X_i-50\cdot 100}{10\cdot \sqrt{100}} \le \frac{ 80\cdot 100-50\cdot 100}{10\cdot \sqrt{100}}\right)=}\)\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{ 80\cdot 100-50\cdot 100}{10\cdot \sqrt{100}} \right)-\Phi\left( \frac{20\cdot 100-50\cdot 100}{10\cdot \sqrt{100}}\right)}\)