rozkład zmiennej losowej g(X)

[niebieska_biedronka]

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= X^2}\), gdzie rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jest zadany poprzez gęstość:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}, \quad \quad x \in [-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \\ 0, \quad \quad x \in (-\infty, - \frac{1}{2} ) \cup (\frac{3}{2}, + \infty) \end{cases}}\)

Problem w tym, że funkcja \(\displaystyle{ y=x^2}\) nie jest różnowartościowa, i gubię się w wyznaczaniu dystrybuanty w danych przedziałach... Podzieliłam sobie "iksy" na przedziały, w których ta funkcja jest monotoniczna - no ale zarówno w przedziale \(\displaystyle{ [-\frac{1}{2}, 0]}\), jak i \(\displaystyle{ [0, \frac{1}{2}]}\) mamy \(\displaystyle{ y \in [0, \frac{1}{4}]}\). Jak więc wyznaczyć dystrybuantę w tym przedziale?

[tometomek91]

Liczymy dystrybuantę normalnie ;p
\(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje tylko wartości nieujmne, więc dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) mamy od razu, że \(\displaystyle{ P(Y<t)=0}\). Niech zatem \(\displaystyle{ t>0}\). Mamy wtedy
\(\displaystyle{ P(Y<t)=P(-\sqrt{t} < X <\sqrt{t})=P(X< \sqrt{t})-P(X< -\sqrt{t})}\)

ale z definicji \(\displaystyle{ P(X<t)=\int_{-\infty}^t f(x) dx=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}}\) dla \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \le t \le \frac{3}{2}}\) czyli

\(\displaystyle{ P(X< \sqrt{t})=\frac{1}{2} \sqrt{t}+\frac{1}{4}}\) dla tym razem \(\displaystyle{ 0 \le t \le \frac{9}{4}}\)

oraz

\(\displaystyle{ P(X< -\sqrt{t})=-\frac{1}{2} \sqrt{t}+\frac{1}{4}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le \frac{1}{4}}\)

Widać więc, że żeby policzyć do końca \(\displaystyle{ P(X< \sqrt{t})-P(X< -\sqrt{t})}\) należy podzielić na przedziały \(\displaystyle{ (-\infty,0],\ \left( 0,\frac{1}{4} \right],\ \left(\frac{1}{4}, \frac{4}{9} \right]}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{4}{9}, \infty \right)}\). Mamy wtedy kolejno na tych przedziałach:

\(\displaystyle{ P(Y<t)=\begin{cases} 0\\ \sqrt{t} \\ \frac{1}{2} \sqrt{t}+\frac{1}{4} \\ 1 \end{cases}}\)

Pomyśl nad tym

[niebieska_biedronka]

A skąd \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{t} + \frac{1}{4}}\) na trzecim przedziale? wtedy \(\displaystyle{ P(X< -\sqrt{t})}\) przyjmuje wartość 0? i jeszcze pytanie do wyznaczania przedziałów na igrekach - chodzi mi o to, jak poradzić sobie z tym w ogólnym przypadku; wystarczy, jak podzielę dziedzinę na przedziały, w których funkcja jest monotoniczna, i odczytam odpowiadające im zbiory wartości? i to będzie dobry podział?

[tometomek91]

Na trzecim przedziale, czyli gdy \(\displaystyle{ t \ge \frac{1}{4}}\) równoważnie \(\displaystyle{ \sqrt{t} \ge \frac{1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ -\sqrt{t} \le -\frac{1}{2}}\) mamy, że
\(\displaystyle{ P(X< -\sqrt{t})=0}\), bo \(\displaystyle{ X}\) nie przyjmuje wartości mniejszych niż \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) a takie właśnie jest \(\displaystyle{ t}\). Czyli wtedy
\(\displaystyle{ P(Y<t)=P(-\sqrt{t} < X <\sqrt{t})=P(X< \sqrt{t})-0=\frac{1}{2} \sqrt{t}+\frac{1}{4}}\).


Nie rozumiem pytania, ale odpowiem
No właśnie tu nie wystarczyło takie podzielenie na przedziały, gdzie \(\displaystyle{ y=x^2}\) jest monotoniczna, bo tutaj weszło w grę jeszcze jakieś \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\)...
Ogólnie trzeba kombinować ;P

[niebieska_biedronka]

yyyy nie miało być monotoniczna, tylko różnowartościowa... chodzi mi o to, skąd akurat tu wzięliśmy \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1/4}\) i \(\displaystyle{ 0 \le t \le 9/4}\) i czy istnieje jakaś metoda prócz kombinowania, które na egzaminie nie do końca jest opłacalne