Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład skupiony na trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (-1,0), \(1,0), \ (0,1)}\). Pokazać, że zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zależne ale \(\displaystyle{ D^2 (X+Y)=D^2 X+ D^2 Y}\)
Gęstość wektora to \(\displaystyle{ f(x,y )=1_{[-1,1]}(x) 1_{[0, 1-|x|]}(y)}\)
Wyznaczyłem gęstości brzegowe
\(\displaystyle{ f_{X}(x)=f(x)= \begin{cases} 0 \ x \le -1 \\ x+1 \ x \in (-1,0] \\ -x+1 \ x \in (0,1] \\ 0 \ x>1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) =f(y)= \begin{cases} 0 \ y \le 0 \\ -2y+2 \ y \in (0,1] \\ 0 \ y>1 \end{cases}}\)
Zmienne są zależne, bo \(\displaystyle{ f(x,y) \neq f(x)f(y)}\)
Liczę
\(\displaystyle{ EX= \int_{- \infty}^{-1} x f(x) dx + \int_{-1}^{0} x f(x) dx + \int_{0}^{1} x f(x) dx \int_{1}^{+ \infty} x f(x) dx = 0}\)
\(\displaystyle{ EY= \int_{- \infty}^{0} y f(y) dy + \int_{0}^{1} y f(y) dy + \int_{1}^{+ \infty} y f(y) dy = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ EXY= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} xy f(x)f(y) dxdy = \left( \int_{\mathbb{R}} xf(x)dx \right) \left( \int_{\mathbb{R}} yf(y)dy \right) = \ldots = 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ cov(X,Y)=0}\) a z tego \(\displaystyle{ D^2 (X+Y)= D^2 X + D^2 Y}\)
Dobrze?