Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2} \sim \varepsilon(1)}\) (rozkład wykładniczy z parametrem 1), gdzie \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}}\) są niezależne. Oblicz \(\displaystyle{ P(X_{1}+1>X_{2} | X_{2}>1)}\).
\(\displaystyle{ P(X_{1}+1>X_{2} | X_{2}>1) = \frac{P(X_{1}+1>X_{2}>1)}{P(X_{2}>1)}}\). Czy teraz z racji że zmienne są niezależne można wyznaczyć ich rozkład łączny, a podane prawdopodobieństwo liczyć jako całkę po obszarze D w następujący sposób?
\(\displaystyle{ f_{X_{i}}= e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ F_{X_{i}}=1-e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ f_{X_{1}X_{2}}(x,y)=f_{X_{1}} \cdot f_{X_{2}} = e^{-(x+y)}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{1}+1>X_{2}>1) = \iint_{D} f_{X_{1}X_{2}}(x,y)dxdy = \int_{0}^{\infty} \left( \int_{1}^{x+1} e^{-(x+y)}dy \right) dx = ... = \frac{1}{2e}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{2}>1) = 1 - P(X_{2}<1) = 1 - F_{X_{2}}(1) = \frac{1}{e}}\), i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{P(X_{1}+1>X_{2}>1)}{P(X_{2}>1)} = \frac{1}{2}}\).
Czy rozumuję poprawnie?
Pozdrawiam.