z urny zawierającej 3 kule białe i 4 czarne przełożono 2 kule do drugiej urny w której było 5 kul białych i 3 czarne. znaleźć prawdopodobieństwo wyciągnięcia po tym przełożeniu kuli czarnej z drugiej urny.
problem w tym że wiem jak to rozwiązać na tzw chłopski rozum, ale potrzebuje do tego wzory
prawdopodobieństwo wylosowania kuli
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
prawdopodobieństwo wylosowania kuli
Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu jednej z kul z urny I i przełożeniu do urny II - etap pierwszy,
Wylosowaniu jednej kuli z urny II- etap drugi.
Etap I
W pierwszym etapie wykonujemy doświadczenie losowe o dwóch możliwych wynikach: " kula biała, kula czarna". Model tego doświadczenia możemy zapisać \(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1})}\)
\(\displaystyle{ \Omega_{1}=\{b, c \}, P_{1}(b)=\frac{3}{7}, P_{1}(c)=\frac{4}{7}}\)
W drugim etapie wykonujemy jedno doświadczenie losowe o czterech możliwych wynikach " kula biała, gdy z urny I wylosowano kulę białą ", "kula biała, gdy z urny I wylosowano kulę czarną"," kula czarna, gdy z urny I wylosowano kulę białą", "kula czarna gdy z urny I wylosowano kulę czarną".
Modelem tego doświadczenia są pary \(\displaystyle{ (\Omega_{2}, P_{b}}),(\Omega_{2}, P_{c})}\)
Biorąc pod uwagę składy obu urn, przyjmujemy:
\(\displaystyle{ P_{b}(b)= \frac{6}{9}, P_{b}(c)=\frac{3}{9}, P_{c}(b)=\frac{5}{9}, P_{c}(c)=\frac{4}{9}}\)
Modelem całego dwuetapowego doświadczenia jest para \(\displaystyle{ (\Omega^{(2)}, P^{2})}\)
o \(\displaystyle{ \Omega^{(2)}=\Omega_{1}\times \Omega_{2}}\) i rozkładzie prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P^{2}(b,b)=P_{1}(b)\cdot P_{b}(b)=\frac{3}{7}\cdot \frac{6}{9}=\frac{18}{63}}\)
\(\displaystyle{ P^{2}(b,c)=P_{1}(b)\cdot P_{b}(c)=\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{9}=\frac{9}{63}}\)
\(\displaystyle{ P^{2}(c,b)=P_{1}(c)\cdot P_{c}(b)=\frac{4}{7}\cdot \frac{5}{9}=\frac{20}{63}}\)
\(\displaystyle{ P^{2}(c,c)=P_{1}(c)\cdot P_{c}(c)=\frac{4}{7}\cdot \frac{4}{9}=\frac{16}{63}}\)
\(\displaystyle{ C}\) - zdarzenie "wylosowanie kuli czarnej z drugiej urny."
\(\displaystyle{ P(C)=P^{2}(b,c)+P^{2}(c,c)= \frac{9}{63}+\frac{16}{63}=\frac{25}{63}}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
Realizując dwuetapowe doświadczenie losowe, należy spodziewać się, że w około 40% ogólnej liczby wyników, wylosujemy kulę czarną z drugiej urny.
Wylosowaniu jednej kuli z urny II- etap drugi.
Etap I
W pierwszym etapie wykonujemy doświadczenie losowe o dwóch możliwych wynikach: " kula biała, kula czarna". Model tego doświadczenia możemy zapisać \(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1})}\)
\(\displaystyle{ \Omega_{1}=\{b, c \}, P_{1}(b)=\frac{3}{7}, P_{1}(c)=\frac{4}{7}}\)
W drugim etapie wykonujemy jedno doświadczenie losowe o czterech możliwych wynikach " kula biała, gdy z urny I wylosowano kulę białą ", "kula biała, gdy z urny I wylosowano kulę czarną"," kula czarna, gdy z urny I wylosowano kulę białą", "kula czarna gdy z urny I wylosowano kulę czarną".
Modelem tego doświadczenia są pary \(\displaystyle{ (\Omega_{2}, P_{b}}),(\Omega_{2}, P_{c})}\)
Biorąc pod uwagę składy obu urn, przyjmujemy:
\(\displaystyle{ P_{b}(b)= \frac{6}{9}, P_{b}(c)=\frac{3}{9}, P_{c}(b)=\frac{5}{9}, P_{c}(c)=\frac{4}{9}}\)
Modelem całego dwuetapowego doświadczenia jest para \(\displaystyle{ (\Omega^{(2)}, P^{2})}\)
o \(\displaystyle{ \Omega^{(2)}=\Omega_{1}\times \Omega_{2}}\) i rozkładzie prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P^{2}(b,b)=P_{1}(b)\cdot P_{b}(b)=\frac{3}{7}\cdot \frac{6}{9}=\frac{18}{63}}\)
\(\displaystyle{ P^{2}(b,c)=P_{1}(b)\cdot P_{b}(c)=\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{9}=\frac{9}{63}}\)
\(\displaystyle{ P^{2}(c,b)=P_{1}(c)\cdot P_{c}(b)=\frac{4}{7}\cdot \frac{5}{9}=\frac{20}{63}}\)
\(\displaystyle{ P^{2}(c,c)=P_{1}(c)\cdot P_{c}(c)=\frac{4}{7}\cdot \frac{4}{9}=\frac{16}{63}}\)
\(\displaystyle{ C}\) - zdarzenie "wylosowanie kuli czarnej z drugiej urny."
\(\displaystyle{ P(C)=P^{2}(b,c)+P^{2}(c,c)= \frac{9}{63}+\frac{16}{63}=\frac{25}{63}}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku
Realizując dwuetapowe doświadczenie losowe, należy spodziewać się, że w około 40% ogólnej liczby wyników, wylosujemy kulę czarną z drugiej urny.