Mamy dane dwa zbiory X i Y. Zbiór X ma n różnych elementów a zbiór Y ma k różnych elementów,
\(\displaystyle{ 0<n \le k}\). Ze zbioru wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) wybieramy losowo jedną funkcję. Jaka jest szansa, że funkcja ta jest:
a) różnowartościowa
b) monotoniczna.
Bardzo proszę o wytłumaczenie mi tego zadania.
Z góry dziękuję.
Zbiór X - n elem. Zbiór Y k elementów. Jaka jest funkcja f?
-
Andreas
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
Zbiór X - n elem. Zbiór Y k elementów. Jaka jest funkcja f?
Wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest \(\displaystyle{ k^n}\).
Więc \(\displaystyle{ \left| \Omega \right| =k^n}\).
a) Wartość dla pierwszego argumentu możemy wybrać na \(\displaystyle{ k}\) sposobów, dla drugiego argumentu na \(\displaystyle{ (k-1)}\) sposobów, a dla n. argumentu na \(\displaystyle{ (k-n+1)}\) sposobów.
Więc wszystkich funkcji różnowartościowych będzie \(\displaystyle{ (k)_n}\).
\(\displaystyle{ (k)_n = k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdot ... \cdot (k-n+1)= \frac{k!}{(k-n)!}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{(k)_n}{k^n}}\)
b) Tutaj osobno rozpatrzyłbym funkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące.
Dla funcji rosnących:
Na początku wybieramy elementy ze zbioru Y (wartości funkcji), których nie przyjmuje żaden argument. Możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {k \choose k-n}}\) sposobów. Pozostałe argumenty "łączymy" z wartościami, a to możemy zrobić na 1 sposób.
\(\displaystyle{ {k \choose k-n}={k \choose n}}\)
Funkcji malejących jest tyle samo co rosnących, czyli \(\displaystyle{ {k \choose n}}\).
Niestety nie mam pomysłu co dalej;).
Więc \(\displaystyle{ \left| \Omega \right| =k^n}\).
a) Wartość dla pierwszego argumentu możemy wybrać na \(\displaystyle{ k}\) sposobów, dla drugiego argumentu na \(\displaystyle{ (k-1)}\) sposobów, a dla n. argumentu na \(\displaystyle{ (k-n+1)}\) sposobów.
Więc wszystkich funkcji różnowartościowych będzie \(\displaystyle{ (k)_n}\).
\(\displaystyle{ (k)_n = k \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdot ... \cdot (k-n+1)= \frac{k!}{(k-n)!}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{(k)_n}{k^n}}\)
b) Tutaj osobno rozpatrzyłbym funkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące.
Dla funcji rosnących:
Na początku wybieramy elementy ze zbioru Y (wartości funkcji), których nie przyjmuje żaden argument. Możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {k \choose k-n}}\) sposobów. Pozostałe argumenty "łączymy" z wartościami, a to możemy zrobić na 1 sposób.
\(\displaystyle{ {k \choose k-n}={k \choose n}}\)
Funkcji malejących jest tyle samo co rosnących, czyli \(\displaystyle{ {k \choose n}}\).
Niestety nie mam pomysłu co dalej;).
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zbiór X - n elem. Zbiór Y k elementów. Jaka jest funkcja f?
Można od razu wybrać \(\displaystyle{ {k\choose n}}\) elementów zbioru \(\displaystyle{ Y}\) i powiedzieć, że czytane od najmniejszego do największe to kolejne wartości elementów ze zbioru \(\displaystyle{ X}\). To dla rosnących, dla malejących czytamy w odwrotnej kolejności.Andreas pisze: b) Tutaj osobno rozpatrzyłbym funkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące.
Dla funcji rosnących:
Na początku wybieramy elementy ze zbioru Y (wartości funkcji), których nie przyjmuje żaden argument. Możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {k \choose k-n}}\) sposobów. Pozostałe argumenty "łączymy" z wartościami, a to możemy zrobić na 1 sposób.
\(\displaystyle{ {k \choose k-n}={k \choose n}}\)
Funkcji malejących jest tyle samo co rosnących, czyli \(\displaystyle{ {k \choose n}}\).
Niestety nie mam pomysłu co dalej;).
Funkcje nierosnące i niemalejące - argument jest podobny, tylko stosujemy kombinacje z powtórzeniami (elementy mogą się powtarzać).