Losowanie pierwiastków równania kwadratowego

[qwerty286]

Wybrano losowo dwie liczby a i b z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+1=0}\) ma:
a)pierwiastki rzeczywiste,
b)pierwiastki równe,
c)pierwiastki rzeczywiste dodatnie.

ad. a) \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ b^{2}-4a>0}\)
\(\displaystyle{ b>2 \sqrt{a} \vee b<-2 \sqrt{a}}\)

ad. b) \(\displaystyle{ \Delta =0}\)
\(\displaystyle{ b^{2}-4a=0}\)
\(\displaystyle{ b=2 \sqrt{a}}\)

ad. c) \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ b<0}\)

No i właśnie od tych momentów nie wiem jak dalej mam się za to zabrać, proszę o pomoc.

[robertm19]

Wybrano dwie liczby, niezależnie z rozkładu jednostajnego.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}}\) na (-1,1)
Teraz musisz narysować w układzie wspólrzędnych zbiory i obliczyc odpowiednie całki.
Jedna osi to "a" druga "b". Gęstość wektora \(\displaystyle{ (a,b)}\) to iloczyn gęstości.

[qwerty286]

Nie wiem czy rozumiem, a) oś OX oznaczę jako b, a OY jako a, więc będzie to część wykresu paraboli, na osi OX zbiór \(\displaystyle{ (-2 \sqrt{a}, -1) \cup (1, 2 \sqrt{a})}\) a na OY od zera do 4a?

[robertm19]

Może tak to zapisze: dla a) całka wygląda tak
\(\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{1}{2}\int_{-1}^{\frac{b^2}{4}}\frac{1}{2}dbda}\)

[qwerty286]

b) \(\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{b^2}{4}}\frac{1}{2}dbda}\) ?

[robertm19]

Nie, masz tam znak równości. \(\displaystyle{ P(b^2=4a)=0}\) bo miara Lebesgue'a wykresu funkcji ciągłej jest 0.

[qwerty286]

Tylko że ja chyba nic nie miałam na temat miary Lebesgue'a wykresu funkcji ciągłej na wykładach, czy można to jeszcze zrobić jakoś inaczej?

[robertm19]

Policzyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ b^2-4a}\), wtedy \(\displaystyle{ P(b^2-4a=0)=F_{b^2-4a}(0)-F_{b^2-4a}(0-)}\)

[Vardamir]

Straszne utrudnianie zadania. Poruszamy się na obszarze \(\displaystyle{ \left( -1,1 \right) \times \left( -1,1 \right)}\), naszym warunkiem w podpunkcie a) jest \(\displaystyle{ b>2 \sqrt{a} \vee b<-2 \sqrt{a}}\).
Teraz niech \(\displaystyle{ b=b \left( a \right)}\), widać że obszary są identyczne tylko odbite względem osi. Ich pole to zatem \(\displaystyle{ 2\int_{0}^{\frac{1}{4}}[1-2\sqrt{a}] \; \dd a}\) . Górną granicę całkowania otrzymujemy rozwiązując \(\displaystyle{ b(a)=1}\).

Aby otrzymać ostateczne rozwiązanie musimy to jeszcze podzielić przez pole całego kwadratu, zatem ostateczny wynik to po prostu \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{1}{4}}[1-2\sqrt{a}] \; \dd a}\) co jest już łatwe do policzenia.

[robertm19]

No jasne, prawdopodobieństwo geometryczne ;p a ja formalnie chciałem.
Ale to nie zmienia faktu że w b) wychodzi 0.

[qwerty286]

Ok dziękuję Wam bardzo za pomoc, teraz już wiem jak to zrobić.