Niech \(\displaystyle{ X \sim N(0,\sigma^{2})}\). Korzystając ze wzoru Maclaurina dla funkcji tworzącej \(\displaystyle{ M(t)=exp( \frac{\sigma^{2}t^{2}}{2} )}\), oblicz wszystkie momenty zmiennej X, wyrażając je za pomocą parametru \(\displaystyle{ \sigma}\).
Ogólnie:
\(\displaystyle{ M(t) = E(e^{tX})=E(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{X^{n}}{n!}t^{n} ) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{EX^{n}}{n!}t^{n}}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ M(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \left(\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2} \right)^{k}}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sigma^{2k}}{2^{k}k!}t^{2k}}\)
Porównując współczynniki, mamy:
\(\displaystyle{ EX^{n} = \begin{cases} 0, n-nieparzyste\\ \frac{\sigma^{n}n!}{2^{n/2}(n/2)!},n- parzyste \end{cases}}\)
Czy to by się zgadzało?
Ponad to jeszcze jedno pytanie - w jakim przypadku można przejść z wartością oczekiwaną pod szereg? Oczywiście wart. oczekiwana jest liniowa, ale jak to wygląda na szeregach nieskończonych?