Momenty, funkcja tworząca

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
porucznik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 214
Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 13 razy

Momenty, funkcja tworząca

Post autor: porucznik »

Niech \(\displaystyle{ X \sim N(0,\sigma^{2})}\). Korzystając ze wzoru Maclaurina dla funkcji tworzącej \(\displaystyle{ M(t)=exp( \frac{\sigma^{2}t^{2}}{2} )}\), oblicz wszystkie momenty zmiennej X, wyrażając je za pomocą parametru \(\displaystyle{ \sigma}\).

Ogólnie:

\(\displaystyle{ M(t) = E(e^{tX})=E(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{X^{n}}{n!}t^{n} ) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{EX^{n}}{n!}t^{n}}\)

W naszym przypadku:

\(\displaystyle{ M(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \left(\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2} \right)^{k}}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sigma^{2k}}{2^{k}k!}t^{2k}}\)

Porównując współczynniki, mamy:

\(\displaystyle{ EX^{n} = \begin{cases} 0, n-nieparzyste\\ \frac{\sigma^{n}n!}{2^{n/2}(n/2)!},n- parzyste \end{cases}}\)

Czy to by się zgadzało?

Ponad to jeszcze jedno pytanie - w jakim przypadku można przejść z wartością oczekiwaną pod szereg? Oczywiście wart. oczekiwana jest liniowa, ale jak to wygląda na szeregach nieskończonych?
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Momenty, funkcja tworząca

Post autor: robertm19 »

Wygląda ok, Co do pytania to

ODPOWIEDZ