Wyznaczenie rozkładu zmiennej losowej

[bodykicker]

Witam, mam problem z takim zadaniem

Zmienna losowa X ma funkcję gęstości: \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2xe^{-x^{2} } ; x \ge 0 \\ 0 ; x<0 \end{cases}}\)

Mam wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\)

Moim planem na to zadanie było skorzystanie z zależności \(\displaystyle{ F_{y}(Y)=P(Y<y)=P( X^{2}<y)=P( -\sqrt{y}<X< \sqrt{y})= F_{x}( \sqrt{y})- F_{x}(- \sqrt{y})}\)

Następnie policzyć dystrybuantę Fx(X), podstawić do powyższego równania i na końcu policzyć z tego pochodną żeby dostać rozkład zmiennej y.

dystrybuanta wyszła mi taka:
\(\displaystyle{ F_{x}(X) = \begin{cases} 0 ; x<0 \\ 1- e^{ -x^{2}} ; x\ge0 \end{cases}}\)

i tu pierwsze pytanie - czy dobrze policzyłem dystrybuantę? Z tego co wiem to powinna się sumować do 1.

Proszę także o pomoc w rozwiązaniu tego zadania, a najlepiej o napisanie dalszego rozwiązania bo nie wiem za bardzo jakie będą przedziały do których należy y (wydaje mi się, że takie jak te do których należy x, ale pewnie się mylę).

[miodzio1988]

dystrybuanta się nie musi sumowac do jedynki

[bodykicker]

Mam takie coś:
\(\displaystyle{ F_{y}(Y)=1- e^{-y}-1+ e^{-y}=0}\)
pochodna jest równa 0
w takim razie wychodzi, że rozkład zmiennej y jest zawsze równy 0.
Dobrze?

[porucznik]

Jeśli \(\displaystyle{ t>0}\) to:

\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=F_{X}(\sqrt{t}) - F_{X}(-\sqrt{t}) = 1 - e^{-t}}\), bo \(\displaystyle{ F_{X}(-\sqrt{t})=0}\)

Czyli

\(\displaystyle{ F_{Y}(t ) = \begin{cases} 1 - e^{-t}, t>0 \\ 0, t\leqslant 0 \end{cases}}\)

Jest tak dlatego, że zdarzenie \(\displaystyle{ X^{2}< y}\), kiedy \(\displaystyle{ y<0}\) jest niemożliwe.

Z tego co wiem to powinna się sumować do 1.

Chodzi raczej o to, że w \(\displaystyle{ \infty}\) dystrybuanta powinna przyjmować wartość \(\displaystyle{ 1}\), natomiast w \(\displaystyle{ -\infty}\) wartość \(\displaystyle{ 0}\).

Tzn. \(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}F(x) = 0, \lim_{x\to\infty}F(x) = 1}\) i jak widać na naszym przykładzie założenia te są spełnione

Aby funkcja \(\displaystyle{ F}\) była dystrybuantą musi spełniać jeszcze dwa inne warunki, przeczytaj jakie!

[bodykicker]

Powinna jeszcze być niemalejąca i lewostronnie ciągła, ale te warunki też spełnia, więc chyba jest ok.
Czyli w takim wypadku rozkład zmiennej y to:
\(\displaystyle{ f(y)= \begin{cases} 0, y<0 \\ e^{-y}, y \ge 0 \end{cases}}\)
Mam rację?