Splot sumy

[studenttt91]

Mam podany dwuwymiarową gęstość \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} e^{x+y} \quad y \le0 \ x \le0 \\ 0 \quad y>0 \ \vee \ x>0 \end{cases}}\) (zmienne są niezależne, sprawdziłem)
Liczę i dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ f(s)= e^s int_{mathbb{R}} 1_{[s,+ infty)} (y) 1_{ (- infty , 0]}(y) dy = e^s int_{- infty}^{0} 1_{[s,+ infty)} (y) dy}\) i rozpatruje \(\displaystyle{ s \le 0}\) i \(\displaystyle{ s>0}\). Dobrze?

[porucznik]

Niech \(\displaystyle{ T = X + Y}\). Najlepiej sobie to narysować. Niezerowe wartości nasza funkcja przyjmuje w ćwiartce III. Nanosimy na wykres prostą \(\displaystyle{ x+y=t}\), czyli \(\displaystyle{ y=t-x}\) i badamy jak zachowuje się ona w zależności od t. Obszar całkowania znajduje się pod prostą. Jeśli \(\displaystyle{ t>0}\) to widzimy że cała ćwiartka III leży pod prostą, jako że \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości niezerowe tylko tam, to całka po tym obszarze wyniesie \(\displaystyle{ 1}\).

Teraz patrzymy co się dzieje dla \(\displaystyle{ t<0}\). Prosta przecina naszą prostą tworząc pewien obszar D. Należy policzyć całkę po tym obszarze. O ile się nie mylę można to zapisać tak:

\(\displaystyle{ F_{T}(t) = 1 - \iint_{D} f(x,y) dxdy = 1 - \int_{t}^{0} \left( \int_{t-x}^{0} e^{x+y} dy\right) dx = ... = e^{t}(1-t)}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ F_{T}(t) = \begin{cases} e^{t}(1-t), t\leqslant 0 \\ 1, t>0\end{cases}}\)