Niech \(\displaystyle{ S_{n+1} = S_{n} + X_{n}, n \ge 0}\), gdzie \(\displaystyle{ X_n}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych o rozkładzie \(\displaystyle{ P(X_n=1)=p = 1 - P(X_n=-1), S_1=0}\).
Czy z MPWL wynika że: \(\displaystyle{ P( \lim_{ n\to \infty} S_n =\pm \infty) = 1}\)
Prawo wielkich liczb, próby bernoullego
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Prawo wielkich liczb, próby bernoullego
Tak. Zmienne \(\displaystyle{ X_{n}}\) maja rozkład o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ 2p-1}\)
Czyli z MPWL \(\displaystyle{ \lim \frac{S_{n}}{n}=2p-1}\) stąd \(\displaystyle{ \lim S_{n}=\lim n(2p-1)}\).
Granica ta zależy od wartości p. Jeżeli jest \(\displaystyle{ p>1/2}\) to \(\displaystyle{ +\infty}\), jeżeli \(\displaystyle{ p<1/2}\) to \(\displaystyle{ -\infty.}\)
Czyli z MPWL \(\displaystyle{ \lim \frac{S_{n}}{n}=2p-1}\) stąd \(\displaystyle{ \lim S_{n}=\lim n(2p-1)}\).
Granica ta zależy od wartości p. Jeżeli jest \(\displaystyle{ p>1/2}\) to \(\displaystyle{ +\infty}\), jeżeli \(\displaystyle{ p<1/2}\) to \(\displaystyle{ -\infty.}\)