Gra na pieniądze

[nowyyyy4]

Mam problem z zadaniem. Powtarzamy pewne doświadczenie z dwoma możliwymi wynikami ( sukces z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\) i porażką \(\displaystyle{ q=1-p}\)) do momentu pojawienia się porażki, za którą płacimy złotówkę, a za otrzymanie sukcesu dostaje się każdorazowo złotówkę. Znaleźć \(\displaystyle{ p}\) dla którego wartość oczekiwana wygranej wynosi złotówkę, przy czym za przystąpienie do gry płaci się złotówkę. Mógłby ktoś pomóc?

[Qń]

Wskazówka - spróbuj uzasadnić, że:
\(\displaystyle{ P(X=n) = p^{n+2}q}\)
dla \(\displaystyle{ n\ge -2}\).

Q.

[nowyyyy4]

Dla \(\displaystyle{ n=-2}\) mamy porażkę (wpłacamy złotówkę i zaraz przegrywamy, płacimy drugą złotówkę)
Dla \(\displaystyle{ n=-1}\) mamy \(\displaystyle{ pq}\) (wpłacamy złotówkę, wygrywamy i przegrywamy) itd.
Czyli wartość oczekiwana będzie wyglądać tak?
\(\displaystyle{ 1=EX= \sum_{n=1}^{\infty} n p^{n+2} q}\), ale jak wyliczyć taką sumę, może lepiej znaleźć wartość oczekiwaną z funkcji tworzącej?

[Qń]

Czyli wartość oczekiwana będzie wyglądać tak?
\(\displaystyle{ 1=EX= \sum_{n=1}^{\infty} n p^{n+2} q}\)

Prawie:
\(\displaystyle{ EX= \sum_{n=-2}^{\infty} n p^{n+2} q = -2q - pq +p^3q\sum_{n=0}^{\infty} n p^{n-1}}\)

Brakującą sumę łatwo policzyć, wiemy bowiem, że dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}}\)
i po zróżniczkowaniu stronami:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}}\)

Ostatecznie więc:
\(\displaystyle{ EX= -2q - pq +p^3q \cdot \frac{1}{(1-p)^2}}\)
i dalej łatwo.

Q.

[nowyyyy4]

A mi wyszedł ten szereg tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=-2}^{\infty} n p^{n+2}q = q \sum_{n=0}^{\infty} (n-2)p^{n} = q \sum_{n=0}^{\infty} n p^n -2 q \sum_{n=0}^{\infty} p^n = qp \sum_{n=0}^{\infty} n p^{n-1} -2q \sum_{n=0}^{\infty} p^n = \frac{pq}{(1-p)^2}-2}\).
Co robię źle?

[Qń]

Nic nie robisz źle, a nawet robisz lepiej niż ja. To ten sam wynik:
\(\displaystyle{ -2q - pq +p^3q \cdot \frac{1}{(1-p)^2}= -2q-pq + \frac{p^3}{q} = \frac{p^3-pq^2-2q^2}{q} = \\ = \frac{p(p-q)(p+q) -2q^2}{q} = \frac{p^2 -pq - 2q^2}{q} = \frac{(p-2q)(p+q)}{q} = \frac{p-2q}{q} = \frac pq -2}\)
czyli dokładnie tyle samo co u Ciebie, tylko u Ciebie jest prościej.

Q.